$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める． \[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll} f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\ g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\ h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき}) \end{array} \right. \] また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．
(1) すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2) $p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3) $p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4) $p_n-r_n$を求めよ．
(5) $p_n$を求めよ．