硬貨が$2$枚ある．最初は$2$枚とも表の状態で置かれている．次の操作を$n$回行った後，硬貨が$2$枚とも裏になっている確率を求めよ．


\mon[（操作）] $2$枚とも表，または$2$枚とも裏のときには$2$枚の硬貨両方を投げ，表と裏が$1$枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる．

$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．

$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．

$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．

$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．

この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．

はじめに，$4$枚の硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が，表が上の状態で置かれている．これらの硬貨に対して以下の試行を繰り返すものとする．


\mon[試行：] $4$枚の硬貨のうち，裏が上の硬貨はそのままにし，表が上の硬貨はすべて拾って同時に投げる．

ただし，すべての硬貨が，裏が上の場合も，$0$枚の硬貨を拾って投げるとみなして，試行を繰り返すものとする．以下の問いに答えよ．

(1)硬貨$\mathrm{A}$が$3$回目の試行の後に表が上である確率を求めよ．
(2)$3$回目の試行の後，硬貨$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は表が上で，かつ，硬貨$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は裏が上である確率を求めよ．
(3)$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(4)$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚であった．このとき，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(5)$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚で，かつ，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(6)$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚であった．このとき，$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚である確率を求めよ．

袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個，黒玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている．このとき，次の操作$(*)$を行う．

\mon[$(*)$] はじめに袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，そのあとよくかき混ぜてから，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．

次の問いに答えよ．

(1)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．
(2)操作$(*)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，袋$\mathrm{B}$の中の白玉が$2$個である確率を求めよ．
(3)操作$(*)$のあとで，$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら袋$\mathrm{A}$にだけ白玉を$1$個入れ，裏が出たら袋$\mathrm{B}$にだけ白玉$1$個を入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，白玉が入れられたのは袋$\mathrm{A}$である確率を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$1$個のさいころと$1$枚の硬貨がある．はじめにさいころを投げて出た目を$X$とし，続けて硬貨を$X$回投げて表が出る回数を$Z$とする．以下の問に答えよ．

(1)$X=5$であったとき$Z=4$となる確率を求めよ．
(2)$Z=4$となる確率を求めよ．
(3)$Z \leqq 3$となる確率を求めよ．

$6$枚の硬貨に$1$から$6$まで番号を$1$つずつ付け，はじめにすべて表向きにして並べておき，以下の操作を繰り返す．
\begin{waku}[操作]
さいころを$2$個投げて出た目の小さい方から大きい方までの番号の硬貨を裏返す．ただし，$2$個のさいころの目が同じ場合はその番号の硬貨のみを裏返す．
\end{waku}
たとえば，$1$回目にさいころを$2$個投げて$2$と$4$の目が出たとすると，番号$2,\ 3,\ 4$の硬貨を裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，裏，裏，表，表となる．続いて$2$回目にさいころを$2$個投げて$2$個とも$3$の目が出たとすると，番号$3$の硬貨のみを裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，表，裏，表，表となる．

(1)$1$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[コ]$であり，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[サ]$である．また，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の硬貨のうち少なくとも一方の向きが表である確率は$[シ]$である．
(2)$n$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の$2$つの硬貨の向きがともに表である確率を$p_n$，ともに裏である確率を$q_n$とする．このとき，関係式

$p_{n+1}-q_{n+1}=[ス](p_n-q_n)+[セ]$
$p_{n+1}+q_{n+1}=[ソ](p_n+q_n)+[タ]$

が成り立ち，$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=[チ]$となる．ただし，$[ス]$～$[タ]$には数を記入すること．

次の$[　]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．

(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．

(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．

(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．