はじめに，$4$枚の硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が，表が上の状態で置かれている．これらの硬貨に対して以下の試行を繰り返すものとする．
\setlength{\leftskip}{10mm} [試行：] $4$枚の硬貨のうち，裏が上の硬貨はそのままにし，表が上の硬貨はすべて拾って同時に投げる．
ただし，すべての硬貨が，裏が上の場合も，$0$枚の硬貨を拾って投げるとみなして，試行を繰り返すものとする．以下の問いに答えよ．
(1) 硬貨$\mathrm{A}$が$3$回目の試行の後に表が上である確率を求めよ．
(2) $3$回目の試行の後，硬貨$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は表が上で，かつ，硬貨$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$は裏が上である確率を求めよ．
(3) $3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(4) $1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚であった．このとき，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ．
(5) $1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚で，かつ，$3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚である確率を求めよ． $3$回目の試行の後に表が上の硬貨が$2$枚であった．このとき，$1$回目の試行の後に表が上の硬貨が$3$枚である確率を求めよ．