タグ「無限級数」の検索結果

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群馬大学 国立 群馬大学 2016年 第4問
定数$a$は$0<a<1$とし,また$n$は正の整数とする.ただし,$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする.
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$R_n$を求めよ.
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ.
群馬大学 国立 群馬大学 2016年 第3問
定数$a$は$0<a<1$とし,また$n$は正の整数とする.ただし,$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする.
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$R_1$と$R_2$を求めよ.
(2)$R_n$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ.
東京農工大学 国立 東京農工大学 2016年 第2問
$n$を自然数とし,$a,\ b,\ r$は実数で$b>0$,$r>0$とする.複素数$w=a+bi$は$w^2=-2 \overline{w}$を満たすとする.$\alpha_n=r^{n+1} w^{2-3n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.ただし,$i$は虚数単位とし,複素数$z$に共役な複素数を$\overline{z}$で表す.次の問いに答えよ.

(1)$a$と$b$の値を求めよ.
(2)複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(\alpha_1)$,$\mathrm{B}(\overline{\alpha_1})$について,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする.$\theta$の値を求めよ.
(3)$\alpha_n$の実部を$c_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$c_n$を$n$と$r$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$c_n$を第$n$項とする数列$\{c_n\}$について,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n$が収束し,その和が$\displaystyle \frac{8}{3}$となるような$r$の値を求めよ.
旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2016年 第1問
$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ.
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ.
(3)$I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ.
(4)$(3)$までの結果を用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第4問
表の出る確率が$r$,裏の出る確率が$1-r$であるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する.ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし,$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする.ただし,$n$は正の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$p_n$を求めよ.
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ.ただし,$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい.
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第3問
座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が,$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.

(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
愛知工業大学 私立 愛知工業大学 2016年 第2問
$n$を自然数とする.$xy$平面において,$2$つの放物線$y=nx^2$,$x=(n+1)y^2$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする.

(1)$S_n$を求めよ.
(2)無限級数$S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots$の和を求めよ.
埼玉工業大学 私立 埼玉工業大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまるものを記入せよ.

(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき,$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは,$[アイ]x$である.

(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は,$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.

(3)正の整数$a,\ b$について,$a$を$5$で割ると余りが$2$,$b$を$5$で割ると余りが$3$である.積$ab$を$5$で割ったとき,余りは$[オ]$となる.
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は,この順に等差数列をなし,$a,\ b,\ 4$は,この順に等比数列をなす.このとき$a=[カ]$,$b=[キク]$である.ただし,$a$と$b$は等しくないとする.
神戸大学 国立 神戸大学 2015年 第4問
$a,\ b$を実数とし,自然数$k$に対して$\displaystyle x_k=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)}$とする.以下の問に答えよ.

(1)$\displaystyle x_k=\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3}$がすべての自然数$k$について成り立つような実数$p,\ q,\ r$を,$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$b=0$のとき,$3$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ.
また,$a=0$のとき,$4$以上の自然数$n$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n x_k$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_k$の和を求めよ.
群馬大学 国立 群馬大学 2015年 第4問
次の問いに答えよ.

(1)数列$\{a_n\}$の一般項が$\displaystyle a_n=\frac{3}{2} \cdot {(-1)}^n+\frac{5}{2}$で与えられるとき,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{7^n}$の和を求めよ.
(2)すべての自然数$n$に対して$b_n$は$0 \leqq b_n \leqq 6$を満たす整数で,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{7^n}=\frac{3}{8}$が成り立つ.このとき$b_1,\ b_2,\ b_3$を求め,さらに数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
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