座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が，$t$の関数 \[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \] で与えられている．また$\mathrm{O}$を原点とする．実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して，線分$\mathrm{OP}_a$と，動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と，線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく．次の問に答えよ．
(1) $f(t)=S(0,\ t)$とする．導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ．
(2) 自然数$n$に対して，$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく．$U(n)$を求めよ．
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ．