次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

$n$を正の整数とし，$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする．$n+2$枚のカードがあり，そのうちの$1$枚には数字$0$が，他の$1$枚には数字$2$が，残りの$n$枚には数字$1$が書かれている．この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ，出た目を大きさの順に$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$とする．$x_1=x_2=x_3$のときは，もう一度$3$人でサイコロ投げを行う．$x_1 \leqq x_2<x_3$のときは，$x_3$を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．$x_1<x_2=x_3$のときは，$x_1$を出した者は去り，残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け，大きい目を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．次の問いに答えよ．

(1)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．
(2)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．
(3)$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(4)$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．

正八面体について考える．$(1)$～$(4)$において，回転すると重なる並び方は同じとする．

(1)頂点の数は$[$3$]$個ある．
(2)頂点に$1,\ 2,\ \cdots$と順に番号を付けていくとき，番号の付け方は$[$4$]$通りある．
(3)$2$つの面を赤に，残りの$6$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$5$]$通りある．
(4)$3$つの面を赤に，残りの$5$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$6$]$通りある．

関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ．
(2)$0<t<1$とする．$A$から，$4$点$(1,\ 0)$，$(t,\ -t^2+1)$，$(-t,\ -t^2+1)$，$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$の最小値を求めよ．

$3$個のさいころを投げるとする．$1$個のさいころの目が$6$で，残り$2$個のさいころの目がいずれも$5$となる確率は，$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ][フ]}$である．また，$2$個のさいころの目が同じで，残りのさいころの目がそれとは異なる場合の確率は，$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．ただし，$3$個のさいころのそれぞれの目が出る確率は，いずれも等しいとする．

次の各問に答えよ．

(1)$3x^2+5xy+2y^2-11x-7y-4$を因数分解せよ．
(2)袋の中に赤玉$6$個，白玉$4$個が入っている．この袋から玉を同時に$5$個取り出す．このとき，次の確率を求めよ．

(i) 赤玉が$3$個，白玉が$2$個出る確率
(ii) $2$個が同じ色で，残りの$3$個が別の色である確率

(3)方程式$21x+17y=1$の整数解をすべて求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．

同じ大きさのカードが$8$枚ある．カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており，それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている．壺にこれら$8$枚のカードを入れる．

(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く．引いたカードの$2$枚には，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており，かつ，残りの$1$枚には，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である．
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す．壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き，それらを戻さずに，続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く．最初に引いた$3$枚のカードには，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており，かつ，最後に引いた$2$枚のカードには，$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と，$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である．
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す．次に，$8$個の箱を横に並べ，左から順に$1$から$8$までの番号をつける．壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き，引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく．例えば，$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる．このとき，奇数が書かれているすべてのカード（$1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚）は，カードの数字と同じ番号の箱に入り，かつ，偶数が書かれているすべてのカード（$2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚）は，カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である．

袋の中に複数個の玉が入っていて，この袋から玉を$1$個取り出し，袋に戻さずに$2$個目の玉を取り出す試行を考える．次の各問に答えよ．

(1)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．取り出した玉が同じ色である確率を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉である確率を求めよ．
(3)袋の中に赤玉$3$個，白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている．$2$個目の玉が赤玉であることが分かったとき，$1$個目の玉も赤玉である確率を求めよ．
(4)袋の中に全部で$9$個の玉が入っている．赤玉は$3$個，白玉は$w$個，残りはすべて青玉である．取り出した玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$のとき白玉の個数$w$を求めよ．