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岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき,関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値を求めよ.
(3)複素数平面上で,点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある.この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき,残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ.ただし,$i$は虚数単位とする.
名古屋大学 国立 名古屋大学 2016年 第2問
$n$を正の整数とし,$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする.$n+2$枚のカードがあり,そのうちの$1$枚には数字$0$が,他の$1$枚には数字$2$が,残りの$n$枚には数字$1$が書かれている.この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ.
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ.
(3)与えられた$n$に対して,確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と,その最大値を求めよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第3問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ,出た目を大きさの順に$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$とする.$x_1=x_2=x_3$のときは,もう一度$3$人でサイコロ投げを行う.$x_1 \leqq x_2<x_3$のときは,$x_3$を出した者が勝者となり,サイコロ投げを終了する.$x_1<x_2=x_3$のときは,$x_1$を出した者は去り,残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け,大きい目を出した者が勝者となり,サイコロ投げを終了する.次の問いに答えよ.

(1)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ.
(2)$1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ.
(3)$1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ.
(4)$2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ.
久留米大学 私立 久留米大学 2016年 第2問
正八面体について考える.$(1)$~$(4)$において,回転すると重なる並び方は同じとする.

(1)頂点の数は$[$3$]$個ある.
(2)頂点に$1,\ 2,\ \cdots$と順に番号を付けていくとき,番号の付け方は$[$4$]$通りある.
(3)$2$つの面を赤に,残りの$6$つの面を白に塗るとき,塗り方は$[$5$]$通りある.
(4)$3$つの面を赤に,残りの$5$つの面を白に塗るとき,塗り方は$[$6$]$通りある.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第3問
関数$f(x)=-x^2+1$について以下の問いに答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$A$を求めよ.
(2)$0<t<1$とする.$A$から,$4$点$(1,\ 0)$,$(t,\ -t^2+1)$,$(-t,\ -t^2+1)$,$(-1,\ 0)$を結んでできる台形の面積を引いた残りの面積$S(t)$を求めよ.
(3)$S(t)$の最小値を求めよ.
東京経済大学 私立 東京経済大学 2016年 第5問
$3$個のさいころを投げるとする.$1$個のさいころの目が$6$で,残り$2$個のさいころの目がいずれも$5$となる確率は,$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ][フ]}$である.また,$2$個のさいころの目が同じで,残りのさいころの目がそれとは異なる場合の確率は,$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である.ただし,$3$個のさいころのそれぞれの目が出る確率は,いずれも等しいとする.
京都女子大学 私立 京都女子大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$3x^2+5xy+2y^2-11x-7y-4$を因数分解せよ.
(2)袋の中に赤玉$6$個,白玉$4$個が入っている.この袋から玉を同時に$5$個取り出す.このとき,次の確率を求めよ.

(i) 赤玉が$3$個,白玉が$2$個出る確率
(ii) $2$個が同じ色で,残りの$3$個が別の色である確率

(3)方程式$21x+17y=1$の整数解をすべて求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う.第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.第$2$試合以降は,直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す.最初に$2$連勝したチームを優勝とする.いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり,各試合に引き分けはないものとする.このとき,

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり,第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である.
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が優勝する確率は,それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$,$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である.

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち,かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと,$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である.ただし,$n$は自然数とする.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第3問
同じ大きさのカードが$8$枚ある.カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており,それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている.壺にこれら$8$枚のカードを入れる.

(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く.引いたカードの$2$枚には,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており,かつ,残りの$1$枚には,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である.
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す.壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き,それらを戻さずに,続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く.最初に引いた$3$枚のカードには,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており,かつ,最後に引いた$2$枚のカードには,$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と,$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である.
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す.次に,$8$個の箱を横に並べ,左から順に$1$から$8$までの番号をつける.壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き,引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく.例えば,$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる.このとき,奇数が書かれているすべてのカード($1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚)は,カードの数字と同じ番号の箱に入り,かつ,偶数が書かれているすべてのカード($2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚)は,カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である.
東京電機大学 私立 東京電機大学 2016年 第2問
袋の中に複数個の玉が入っていて,この袋から玉を$1$個取り出し,袋に戻さずに$2$個目の玉を取り出す試行を考える.次の各問に答えよ.

(1)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.取り出した玉が同じ色である確率を求めよ.
(2)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.$2$個目の玉が赤玉である確率を求めよ.
(3)袋の中に赤玉$3$個,白玉$5$個の全部で$8$個の玉が入っている.$2$個目の玉が赤玉であることが分かったとき,$1$個目の玉も赤玉である確率を求めよ.
(4)袋の中に全部で$9$個の玉が入っている.赤玉は$3$個,白玉は$w$個,残りはすべて青玉である.取り出した玉が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$のとき白玉の個数$w$を求めよ.
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「残り」とは・・・

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