$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がそれぞれ$1$個ずつのサイコロを同時に投げ，出た目を大きさの順に$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$とする．$x_1=x_2=x_3$のときは，もう一度$3$人でサイコロ投げを行う．$x_1 \leqq x_2<x_3$のときは，$x_3$を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．$x_1<x_2=x_3$のときは，$x_1$を出した者は去り，残りの$2$人で異なる目が出るまでサイコロ投げを続け，大きい目を出した者が勝者となり，サイコロ投げを終了する．次の問いに答えよ．
(1) $1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が$3$を出して勝者となる場合の数を求めよ．
(2) $1$回目のサイコロ投げで$\mathrm{A}$が勝者となる場合の数を求めよ．
(3) $1$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．
(4) $2$回目のサイコロ投げで勝者が決まる場合の数を求めよ．