\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．

等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする．
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ．
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて，
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする．曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り，$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し，曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ．

関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．さらに，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える．$t>x_0$のとき，接線$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．原点を$\mathrm{O}$として，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+(2n+3)a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a_2}$と$\displaystyle \frac{1}{a_3}$の値を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．

$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．

座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．

次の問に答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1-\log x}}{x} \, dx$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=(x+1)2^{x-3}-2^x-1$に対し，$f^\prime(x)=0$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$0$でない実数$a$に対し，極限値
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos (a-1)x-\cos (a+1)x}{x \sin x} \]
を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sin \theta=2^n \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \sin \frac{\theta}{2^n} \]
(2)$0<\theta<\pi$のとき，次の極限値を$\theta$を用いて表せ．
\[ \lim_{n \to \infty} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2^2} \ \cdots \ \cos \frac{\theta}{2^n} \]

$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．