等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする． \[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] これらを用いて，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を \[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ．
(2) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ．
(3) 極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ．
(4) 座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて， \[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \] と表されるとする．曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り，$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(5) $(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し，曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ．