数列$\{a_n\}$が，
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．


(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．

(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-2kx^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 3x \cos x| \, dx$を求めよ．
(3)複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2 \sqrt{3|}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．

関数
\[ f(x)=2 \sin x+\sqrt{6} \sin 2x \]
について，以下の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$および不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(2)区間$0<x<\pi$において$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする．このとき，$\cos \alpha$と$\cos 2 \alpha$の値を求めよ．
(3)区間$0<x<\pi$において$f^\prime(x)=0$となる$x$の値を$\beta,\ \gamma (\beta<\gamma)$とする．このとき，$\cos \beta$と$\cos \gamma$の値を求めよ．
(4)区間$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(5)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．

等比数列$\{a_n\}$と等差数列$\{b_n\}$を次の通りとする．
\[ a_n=\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-3},\quad b_n=\frac{3 \pi (n-1)}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
これらを用いて，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を
\[ \mathrm{P}_n (a_n \cos b_n,\ a_n \sin b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_4$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であることを示せ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さ$l_n$を$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle L=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n l_k$を求めよ．
(4)座標平面上の曲線$C$が媒介変数$t$と定数$\alpha,\ \beta$を用いて，
\[ x=2^{\alpha t+\beta} \cos t,\quad y=2^{\alpha t+\beta} \sin t \]
と表されるとする．曲線$C$が$t=0$で点$\mathrm{P}_1$を通り，$\displaystyle t=\frac{3 \pi}{4}$で点$\mathrm{P}_2$を通るとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(5)$(4)$で求めた$\alpha,\ \beta$の値に対し，曲線$C$がすべての点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を通ることを示せ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x}$について，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$を用いてよい．
(2)$e^{\pi}>\pi^e$を示せ．
(3)$e^{\sqrt{\pi}}<\pi^{\sqrt{e}}$を示せ．

関数
\[ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．さらに，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値$x_0$を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
(4)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$を考える．$t>x_0$のとき，接線$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．原点を$\mathrm{O}$として，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$g(t)$を$t$の式で表せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{\sqrt{t} \log t}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

$n$を$1$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば，$\sqrt{n}$は整数であることを示せ．
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ．
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ．