「条件」について
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国立 岐阜大学 2016年 第2問$\alpha,\ \beta,\ a,\ b,\ c,\ d$を実数とする．以下の問に答えよ．
(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．
(1)「すべての実数$x$について$x^2+\alpha x+\beta>0$である」が成り立つための$\alpha,\ \beta$に関する条件を求めよ．
(2)「すべての実数$y$について$ay+b<0$である」が成り立つための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
(3)「すべての実数$x,\ y$について$x^2+4xy+4y^2+5x+cy+d>0$である」が成り立つための$c,\ d$に関する条件を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第3問次の条件（ア），（イ）を満たす複素数$z$を考える．
（ア） $\displaystyle z+\frac{i}{z}$は実数である
（イ） $z$の虚部は正である
ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$r=|z|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．
(2)$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．
（ア） $\displaystyle z+\frac{i}{z}$は実数である
（イ） $z$の虚部は正である
ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$r=|z|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．
(2)$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第2問$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第1問$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第2問実数$a,\ b$に対し，関数
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第5問$xy$平面上に楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$がある．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(a,\ b)$を通る$C$の接線が$2$本あり，それらが直交するとき，$a,\ b$がみたす条件を求めよ．
(2)$C$に外接する長方形のうち，$x$座標が$1$で$y$座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ．
国立 大阪大学 2016年 第1問$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$a=1,\ b=6$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$a=1,\ b=6$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)整数$x,\ y$に対して$11x+7y$が$77$の倍数ならば，$x$は$7$の倍数であり$y$は$11$の倍数であることを示せ．
(2)整数$x,\ y$が次の$3$つの条件
\[ \sin \left( \frac{\pi}{7}x+\frac{\pi}{11}y \right)=0,\quad 10<x<34,\quad 10<y<30 \]
を満たすとき，$|x-y|$の最小値とそのときの$x,\ y$の値を求めよ．