「最小」について
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国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 熊本大学 2016年 第3問$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$に対して，$\alpha=2(\cos \theta+i \sin \theta)$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
\[ z_n=\alpha^n-2 \alpha^{n-1} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$z_n$を極形式で表せ．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n |z_k|>500$となる最小の$n$を求めよ．
(3)$z_{1000}$が実数となるような$\theta$の値の個数を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第4問サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
国立 大分大学 2016年 第1問大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2016年 第1問大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．
(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．
国立 琉球大学 2016年 第2問定積分$\displaystyle \int_a^{a+1} |e^x-1| \, dx$の値を$I(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$-1 \leqq a \leqq 0$のとき，$I(a)$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(1)$-1 \leqq a \leqq 0$のとき，$I(a)$を$a$で表せ．
(2)$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 奈良女子大学 2016年 第2問$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．
国立 九州工業大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=8$，$\mathrm{AB}=7$である．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として，次に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$(2)$の点$\mathrm{H}$に対して，線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ．また，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし，さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる．このとき，四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ．