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国立 山梨大学 2016年 第3問$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ t \right)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq t<1 \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q}(\alpha,\ 0)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq \alpha \leqq 1 \right)$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ．
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ．
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ．
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ．
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ．
国立 山梨大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{BR}$，$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする．このとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ．
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ．
(3)初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を，$n$を用いた式で表せ．
(1)$\angle \mathrm{A}={90}^\circ$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{BR}$，$\mathrm{CP}$は$1$点で交わり，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=3:1$かつ$\angle \mathrm{ARB}={60}^\circ$とする．このとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}$を求めよ．
(2)複素数$z$の方程式$z^4=-8-8 \sqrt{3}i$の解をすべて求めよ．
(3)初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．また，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$の$n$個の値からなるデータの平均値$m$および分散$s^2$を，$n$を用いた式で表せ．
国立 帯広畜産大学 2016年 第1問原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線$L$の方程式を$y=ax+b$とする．接線$L$は，$x$軸と点$\mathrm{A}$で，$y$軸と点$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$S$とする．また，$x$軸の正の向きを始線とし，それと直線$\mathrm{OP}$のなす正の角を$\theta$で表す．ただし，
\[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (*) \]
とする．次の各問に答えなさい．
(1)$(ⅰ)$ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい．
$(ⅱ)$ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．
$(ⅲ)$ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする．
$(ⅰ)$ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
$(ⅲ)$ $\tan 2\theta$の値を求めなさい．
(3)$\theta<2\pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい．
(4)$\theta<200 \pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい．
\[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (*) \]
とする．次の各問に答えなさい．
(1)$(ⅰ)$ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい．
$(ⅱ)$ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．
$(ⅲ)$ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする．
$(ⅰ)$ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
$(ⅲ)$ $\tan 2\theta$の値を求めなさい．
(3)$\theta<2\pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい．
(4)$\theta<200 \pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい．
国立 帯広畜産大学 2016年 第2問関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
国立 愛媛大学 2016年 第2問放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．
(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．
(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．
(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 愛媛大学 2016年 第2問放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．
(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．
(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．
(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．
(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 浜松医科大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．なお，必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．
国立 豊橋技術科学大学 2016年 第2問$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．なお，点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$，$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(4)接線$\ell$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(5)$r=1$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，接線$\ell$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(4)接線$\ell$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(5)$r=1$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，接線$\ell$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．