原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線$L$の方程式を$y=ax+b$とする．接線$L$は，$x$軸と点$\mathrm{A}$で，$y$軸と点$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$S$とする．また，$x$軸の正の向きを始線とし，それと直線$\mathrm{OP}$のなす正の角を$\theta$で表す．ただし， \[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (\ast) \] とする．次の各問に答えなさい．
(1) $\tokeiichi$ \ \ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい．
$\tokeini$ \ \ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．
$\tokeisan$ \ \ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい．
(2) $\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする．
$\tokeiichi$ \ \ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい．
$\tokeini$ \ \ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
$\tokeisan$ \ \ $\tan 2\theta$の値を求めなさい．
(3) $\theta<2\pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(\ast)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい．
(4) $\theta<200 \pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(\ast)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい．