関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1) 線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(ⅰ) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ⅱ) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2) 放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(ⅰ) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ⅱ) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(ⅲ) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(ⅰ) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ⅱ) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(ⅲ) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．