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(5ページ目:全1641問中41問~50問を表示) 国立 福島大学 2016年 第2問
関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とする.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.
(1)$C$上の点$(t,\ t^3-t)$における$C$の接線の方程式を求めなさい.
(2)$C$上の$2$点$(t,\ t^3-t)$および$(s,\ s^3-s)$における$C$の接線が一致するのは$t=s$のときに限ることを示しなさい.
(3)$C$上にない点$\mathrm{A}(a,\ b)$から$C$へ引ける接線の数がちょうど$2$本となるとき,$a,\ b$がみたす条件を求めなさい.
(4)$(3)$の$2$本の接線が直交するときの$a,\ b$の値を求めなさい.
国立 福島大学 2016年 第4問
次の方程式で表される二つの直線$\ell_1,\ \ell_2$を考える.
$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$
(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る.この定点の座標を求めなさい.
(2)$a$が実数全体を動くときの,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい.
$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$
(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る.この定点の座標を求めなさい.
(2)$a$が実数全体を動くときの,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい.
国立 千葉大学 2016年 第1問
$1$個のさいころを$2$回投げ,最初に出た目を$a$,$2$回目に出た目を$b$とする.$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について,次の問いに答えよ.
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ.
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ.
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ.
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ.
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ.
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ.
国立 千葉大学 2016年 第1問
$1$個のさいころを$2$回投げ,最初に出た目を$a$,$2$回目に出た目を$b$とする.$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について,次の問いに答えよ.
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ.
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ.
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ.
(1)実数解は存在すれば正であることを示せ.
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ.
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ.
国立 千葉大学 2016年 第4問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
国立 千葉大学 2016年 第5問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
国立 小樽商科大学 2016年 第1問
次の$[ ]$の中を適当に補え.
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は,全部で$[ ]$個である.
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$,最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である.
(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は,全部で$[ ]$個である.
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[ ]$である.
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$,最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[ ]$である.
国立 徳島大学 2016年 第1問
曲線$y=x^3 (x>0)$を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における法線を$\ell$とし,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする.
(1)法線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ.
(1)法線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ.
国立 高知大学 2016年 第4問
座標平面上に放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{6 \sqrt{3}}x^2$を考える.次の問いに答えよ.
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$,$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ.
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し,$y$軸にも接している円の方程式を求めよ.
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(1)$C$と$2$点$\displaystyle \left( -3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$,$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接している円の方程式を求めよ.
(2)$C$と$(1)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
(3)$C$と点$\displaystyle \left( 3,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で接し,$y$軸にも接している円の方程式を求めよ.
(4)$C$と$y$軸および$(3)$の円で囲まれる部分の面積を求めよ.
国立 宮崎大学 2016年 第3問
複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$($i$は虚数単位)の$3$つの解を,その偏角$\theta$(ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$)の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする.複素数平面上で,$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$とし,直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$($x,\ y$は実数)の形でそれぞれ表せ.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(3)複素数平面上で,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も,$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ.