自然数$n$に対して関数$y=2nx-x^2$のグラフと$x$軸で囲まれた領域（境界線を含む）$R_n$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)領域$R_n$に含まれる格子点（$x$座標と$y$座標がともに整数である点）の数$S_n$を求めなさい．
(2)点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2n,\ 0)$，および関数$y$の頂点を結ぶ線分で囲まれた領域（境界線を含む）に含まれる格子点の数$T_n$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$を求めなさい．

半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

$n$を正の整数とする．$1$から$6n$までの番号がつけられた$6n$枚のカードから$2$枚を同時に選び，選んだ$2$枚の番号の積を$X$とする．$X$が$3$の倍数となる確率を$P_n$，$X$が$6$の倍数となる確率を$Q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$P_1$，$Q_1$をそれぞれ求めよ．
(2)$P_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$Q_n$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$をそれぞれ求めよ．

$a$と$d$を整数とする．数列$\{a_n\}$を初項$a$，公差$d$の等差数列とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_n$を$a,\ d,\ n$を用いて表せ．
(2)$n \leqq 34$のとき$S_n \leqq 0$，$n \geqq 35$のとき$S_n>0$であるとする．次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．

(i) $S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
(ii) $S_n$の最小値が$-289$のとき，$a$と$d$の値をそれぞれ求めよ．

自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．

(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．



以下の問題では，$n$は偶数とする．


\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．

$6$つの整数$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f$はすべて$0$以上で，次の$3$条件（ア），（イ），（ウ）をみたすとする．

（ア）\ $a>b>c>d$
（イ）\ $a=be+c$
（ウ）\ $b=cf+d$

次の問いに答えよ．

(1)$a=8$のとき，$5$つの整数$b,\ c,\ d,\ e,\ f$の組をすべて求めよ．

(2)$\displaystyle c<\frac{a}{2}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle d<\frac{a}{3}$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき
\[ \cos 2x+\cos x+1>0 \]
を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$a^2b-3a^2+5b=21$を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
(3)正方形の各辺を$n$等分した点から向かい合う辺に垂線を下ろす．このとき，正方形の$4$つの辺とこれらの垂線を利用してできる長方形のうち，正方形でないものの個数を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$または$7$で割り切れる$100$以下の自然数の和を求めよ．
(2)座標平面上で，不等式$(2x^2-y)(x^2+y^2-3) \leqq 0$が表す領域を図示せよ．

(3)$\left\{ \begin{array}{l}
2 \sin \alpha+2 \cos \beta=1 \\
2 \cos \alpha-2 \sin \beta=\sqrt{3}
\end{array} \right.$とする．このとき，$\alpha$と$\beta$を求めよ．ただし，$0 \leqq \alpha<2\pi$かつ$0 \leqq \beta<2\pi$とする．
(4)$1 \leqq x \leqq 25$，$26x+7y=2$を満たす整数$x,\ y$の組をすべて求めよ．

整数$x,\ y$に関する以下の問に答えよ．

(1)$x^2-y^2-3=0$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(2)$x^2-y^2-4x+6y-5$を因数分解せよ．
(3)$x^2-4y^2-4x+12y-8=0$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．