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私立 早稲田大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$はすべての項が整数であり，次の性質を満たしている．
「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」
(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．
「正の整数$n$の正の約数が$k$個あるとき，これらを$d_1,\ d_2,\ \cdots,\ d_k$とすると，
\[ a_{d_1}+a_{d_2}+\cdots +a_{d_k}=n \]
が成り立つ．」
(1)$a_5=[ツ]$，$a_6=[テ]$，$a_{49}=[ト]$である．
(2)$a_{5^{100}}=[ナ] \cdot 5^{99}$である．
(3)$p,\ q$を$p<q$を満たす$2$つの素数とする．$a_{pq}=pq-11$が成立するならば，$p=[ニ]$，$q=[ヌ]$である．
私立 津田塾大学 2016年 第3問$a$を正の実数とする．$x \geqq 0$のとき，次の不等式が成り立つとする．
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また，等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]
\[ \frac{x^3}{3}+a \geqq x \]
また，等号が成り立つ正の実数$x$が存在するとする．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)次の連立不等式を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
\[ x \leqq y,\quad y \leqq \frac{x^3}{3}+a,\quad \frac{x^3}{3}+a \leqq 1 \]
私立 津田塾大学 2016年 第3問$m$を自然数とし，整数$x,\ y$は$x^3+y^3=m$を満たすとする．
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．
(1)$0<x^2-xy+y^2 \leqq m$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle y^2 \leqq \frac{4}{3}m$が成り立つことを示せ．
(3)$x^3+y^3=19$を満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．ただし，$(2)$の結果を利用してもよい．
私立 久留米大学 2016年 第5問数列$\{a_n\}$が$3(a_{n+1})^2=(a_n)^3$の関係を満たしているとする．ただし，$a_n$は正の実数で，$n$は正の整数とする．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
(1)$\log a_n$を$n$と$a_1$を用いて表すと$[$15$]$となる．
(2)数列$\{a_n\}$が収束するような$a_1$の値の範囲は$[$16$]$である．
私立 京都薬科大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
私立 京都薬科大学 2016年 第4問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．
(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．
\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$
これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．
私立 青山学院大学 2016年 第1問小数第$1$位までで表される正数$X,\ Y$に対して，$m,\ n$を
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．
\[ X-0.4 \leqq m \leqq X+0.5,\quad Y-0.4 \leqq n \leqq Y+0.5 \quad \cdots \quad ① \]
を満たす$0$以上の整数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$X=2.6$のとき$m=[$1$]$であり，$Y=4.3$のとき$n=[$2$]$である．
(2)関係式$①$を満たす$X,\ Y,\ m,\ n$に対して，さらに関係式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
5X-4Y=22.2 & \cdots & ② \\
2m+3n=26 & \cdots & ③
\end{array} \right. \]
が成立するという．$X,\ Y,\ m,\ n$を求めよう．
関係式$③$を満たす$0$以上の整数$m,\ n$のうちで，対応する$X,\ Y$が関係式$②$を満たすのは$m=[$3$]$，$n=[$4$]$である．このとき，
\[ X=[$3$]+\frac{x}{10},\quad Y=[$4$]+\frac{y}{10} \]
とすると，$5x-4y=[$5$][$6$]$が成り立つ．
以上のことから，$x=[$7$]$，$y=[$8$][$9$]$となる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．
(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．
(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．
(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問\begin{mawarikomi}{36mm}{
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\tenretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\tenretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例：$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\tenretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く．ここで，$n$は正の整数とする．ただし，これらの碁石は同じ種類であり，互いに区別できない．また，格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする．各$i$に対して，$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列，各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ．
\end{mawarikomi}
(1)$n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると
\[ A_1=1, A_2=6, A_3=[$1$][$2$], A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$}, \cdots \]
である．
(2)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると
\[ B_1=1, B_2=2, B_3=[$7$][$8$], B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}, \cdots \]
である．
(3)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると
\[ C_1=1, C_2=6, C_3=[$13$][$14$], C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$}, \cdots \]
である．
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\tenretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\tenretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例：$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\tenretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く．ここで，$n$は正の整数とする．ただし，これらの碁石は同じ種類であり，互いに区別できない．また，格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする．各$i$に対して，$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列，各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ．
\end{mawarikomi}
(1)$n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると
\[ A_1=1, A_2=6, A_3=[$1$][$2$], A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$}, \cdots \]
である．
(2)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると
\[ B_1=1, B_2=2, B_3=[$7$][$8$], B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}, \cdots \]
である．
(3)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると
\[ C_1=1, C_2=6, C_3=[$13$][$14$], C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$}, \cdots \]
である．