「数列の和」について
タグ「数列の和」の検索結果
（4ページ目：全498問中31問～40問を表示）
国立 大分大学 2016年 第4問初項$3$の数列$\{a_n\}$がある．$b_n=a_{n+1}-3a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$は初項$6$，公比$3$の等比数列である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{a_n}{3^n}$とするとき，$c_{n+1}-c_n$を求めなさい．
(2)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とするとき，$S_n$を$n$の式で表しなさい．
国立 大分大学 2016年 第1問$0$でない実数$r$が$|r|<1$のとき，以下の問いに答えなさい．ただし，自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(n-1)r^n=0$である．
(1)$\displaystyle R_n=\sum_{k=0}^n r^k$と$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n kr^{k-1}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n k(k-1)r^{k-2}$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k^2r^k$を求めなさい．
(1)$\displaystyle R_n=\sum_{k=0}^n r^k$と$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n kr^{k-1}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n k(k-1)r^{k-2}$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k^2r^k$を求めなさい．
国立 島根大学 2016年 第1問$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている．箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う．$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(1)$p_1,\ p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和をそれぞれ
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．
\[ s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,\quad t_n=b_1+b_2+\cdots +b_n \]
とおいたとき
\[ s_n=\frac{3n^2+n}{2},\quad \log_2 (t_n+1)=2n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立つ．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2016年 第3問初項$a$，公差$d$の等差数列$a_n=a+(n-1)d (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．$S_{7}$と$S_{11}$を，それぞれ$a$と$d$の式で表せ．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n {(a_k)}^2$とおく．$T_{11}$を$a$と$d$の式で表せ．
(3)$S_7=0$かつ${(S_{11})}^2-T_{11}=440$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
国立 山梨大学 2016年 第4問$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．
(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2016年 第1問$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
(3)$I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．
(4)$(3)$までの結果を用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ．
(1)$\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
(3)$I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．
(4)$(3)$までの結果を用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第3問$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が$a_1=0$，$b_1=1$および
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n-b_n \\
b_{n+1}=a_n+3b_n+1 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．
(1)$c_n=a_n+b_n+1$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_n=\frac{a_n+1}{2^n}$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n-b_n \\
b_{n+1}=a_n+3b_n+1 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．
(1)$c_n=a_n+b_n+1$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_n=\frac{a_n+1}{2^n}$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$を求めよ．