$1$から$5$までの数字を$1$つずつ書いた$5$枚のカードが箱に入っている．箱の中から$1$枚のカードを取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行う．$k$回目に取り出したカードの数字を$a_k$とし，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$が偶数である確率を$p_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $p_1,\ p_2$を求めよ．
(2) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3) $p_n$を求めよ．