タグ「座標空間」の検索結果

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東京大学 国立 東京大学 2016年 第3問
$a$を$1<a<3$をみたす実数とし,座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える.直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$,$\mathrm{R}_2$,$\mathrm{R}_3$として,三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を最小にする$a$と,そのときの$S(a)$の値を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第6問
座標空間内を,長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$が次の$2$条件$(ⅰ)$,$(ⅱ)$をみたしながら動く.

$(ⅰ)$ 点$\mathrm{A}$は平面$z=0$上にある.
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$が線分$\mathrm{AB}$上にある.

このとき,線分$\mathrm{AB}$が通過することのできる範囲を$K$とする.$K$と不等式$z \geqq 1$の表す範囲との共通部分の体積を求めよ.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2016年 第3問
座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある.$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる.

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ.
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$が最小になる$t$の値と,そのときの$S(t)$の値を求めよ.
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり,点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある.線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
大阪教育大学 国立 大阪教育大学 2016年 第2問
実数$a,\ b$に対して,座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{P}(1,\ 0,\ a)$,$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ b)$を考える.三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,\ 1,\ 1)$があるとき,$a$と$b$の関係を求め,$S$の最小値を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第1問
座標空間に$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \]
がある.ただし,$s>0$とする.$t,\ u,\ v$を実数とし,
\[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
とおく.次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき,$u,\ v$を$s$を用いて表せ.
(3)$(2)$のとき,$2$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \]
となる点とする.四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき,$s$の値を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第3問
座標空間に$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \]
がある.ただし,$s>0$とする.$t,\ u,\ v$を実数とし,
\[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
とおく.次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき,$u,\ v$を$s$を用いて表せ.
(3)$(2)$のとき,$2$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \]
となる点とする.四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき,$s$の値を求めよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第2問
座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第4問
座標空間内に,原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある.$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し,直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする.さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする.このとき以下の問いに答えよ.

(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ.
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ.
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で,原点$\mathrm{O}$を通らないものとする.直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき,対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第1問
座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(3,\ 3,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$をとり,さらに$1<a<3$を満たす定数$a$に対して点$\mathrm{P}(t,\ ta,\ ta)$をとる.ただし,$t$は$t>0$の範囲を動くものとする.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす.点$\mathrm{H}$の座標を求めよ.
(2)点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め,そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ.



以下,点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする.


\mon[$(3)$] 点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする.$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}$を求めよ.
\mon[$(4)$] 四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ.
島根大学 国立 島根大学 2016年 第2問
座標空間に原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 2)$,$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2 \sqrt{3},\ 1)$がある.次の問いに答えよ.

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は正三角形であることを示せ.
(2)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となるような点$\mathrm{C}$の座標を求めよ.
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「座標空間」とは・・・

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