座標空間に$4$点 \[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \] がある．ただし，$s>0$とする．$t,\ u,\ v$を実数とし， \[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \] とおく．次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき，$u,\ v$を$s$を用いて表せ．
(3) $(2)$のとき，$2$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \] となる点とする．四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき，$s$の値を求めよ．