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(1ページ目:全552問中1問~10問を表示) 国立 広島大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.
(1)$a$を正の定数とする.関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ.
(3)$c$を正の定数とする.$x$軸,$y$軸,直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ.
(1)$a$を正の定数とする.関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ.
(3)$c$を正の定数とする.$x$軸,$y$軸,直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ.
国立 愛知教育大学 2016年 第8問
関数
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$y$の導関数を求めよ.
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい.
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について,次の問いに答えよ.
(1)$y$の導関数を求めよ.
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ.ただし,必要があれば,$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい.
国立 山口大学 2016年 第4問
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
国立 静岡大学 2016年 第4問
$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし,等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする.ただし,$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す.このとき,次の各問に答えよ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと,$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ.また,このことを用いて,図形$S$は原点を通る直線であることを示せ.
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする.このとき,$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ.
国立 大阪教育大学 2016年 第3問
以下の問に答えよ.
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ.
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ.
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ.
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ.
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ.
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ.
国立 筑波大学 2016年 第4問
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
国立 山形大学 2016年 第1問
$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$,点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある.点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き,軌跡$C$をえがく.以下の問いに答えよ.
(1)軌跡$C$の方程式を求め,点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ.
(2)軌跡$C$の方程式について,導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ.
$a$を実数とする.曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について,以下の問いに答えよ.
\mon[$(3)$] $a=4$のとき,共有点の個数を求めよ.
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ.
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き,軌跡$C$をえがく.以下の問いに答えよ.
(1)軌跡$C$の方程式を求め,点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ.
(2)軌跡$C$の方程式について,導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ.
$a$を実数とする.曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について,以下の問いに答えよ.
\mon[$(3)$] $a=4$のとき,共有点の個数を求めよ.
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ.
国立 信州大学 2016年 第5問
$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{Q}_0$を複素数平面上の異なる点とする.自然数$k$に対して,平面上の点$\mathrm{P}_k$,$\mathrm{Q}_k$を以下の条件$(ⅰ)$,$(ⅱ)$を満たすものとして定める.
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
(i) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k-1}$を$\mathrm{P}_{k-1}$を中心として角$\theta$だけ回転させた線分が$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$となる.
(ii) 線分$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{Q}_{k}$を$\mathrm{Q}_{k}$を中心として角$\theta^\prime$だけ回転させた線分が$\mathrm{Q}_{k} \mathrm{P}_{k}$となる.
以下の問いに答えよ.
(1)$\mathrm{Q}_{k+2}=\mathrm{Q}_k$となるための,$\theta$と$\theta^\prime$に関する条件を求めよ.
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$,$\theta=-\theta^\prime$,$|\mathrm{Q|_0 \mathrm{P}_0}=1$とする.$\mathrm{Q}_0$を中心とし,半径が$r$の円を$C$とする.$\mathrm{P}_{n-1}$は$C$の内部,$\mathrm{Q}_n$は$C$の外部にあるという.このとき,$r^2$が取り得る値の範囲を$n$と$\theta$を用いて表せ.
国立 熊本大学 2016年 第4問
$2$次関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
とおく.$a$を正の数とし,$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき,以下の問いに答えよ.
(1)すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ.
(2)$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ.
(3)関数$\displaystyle \frac{F(x)}{F^\prime(0)}$の極大値を求めよ.
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
とおく.$a$を正の数とし,$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき,以下の問いに答えよ.
(1)すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ.
(2)$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ.
(3)関数$\displaystyle \frac{F(x)}{F^\prime(0)}$の極大値を求めよ.
国立 東京農工大学 2016年 第3問
$a$を正の実数とし,$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.