タグ「実数解」の検索結果

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島根大学 国立 島根大学 2015年 第2問
$a$を実数とし,関数$f(x)=4^x+a \cdot 2^{x-1}+a$を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき,$a$の値を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき,$a$の値の範囲を求めよ.
奈良女子大学 国立 奈良女子大学 2015年 第6問
$a,\ b$を実数とする.$f(x)=x^2+ax+b$,$g(x)=x^2+bx+a$とする.$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする.その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする.次の問いに答えよ.

(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ.
(2)$a>0$とする.直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし,直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする.$S_1:S_2=27:8$となるとき,$a$の値を求めよ.
電気通信大学 国立 電気通信大学 2015年 第3問
次の関数$f(x),\ g(x)$に対して,以下の問いに答えよ.ただし,$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す.
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め,関数$f(x)$の増減を調べよ.さらに,$f(x)$の最大値を求めよ.
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ.
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ.さらに,$xy$平面上において,曲線$y=f(x)$,$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする.図形$D$の面積$S$を求めよ.
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
筑波大学 国立 筑波大学 2015年 第3問
$p$と$q$は正の整数とする.$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.ただし$\alpha>\beta$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.ただし$\alpha^0=1$,$\beta^0=1$と定める.

(1)すべての自然数$n$に対して,$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ.
(2)すべての自然数$n$に対して,$a_n$は整数であることを示せ.
(3)自然数$n$に対し,$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする.$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき,$b_n$を$a_n$を用いて表せ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第5問
微分可能な関数$f(x)$は,$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$,$f(1)=0$を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ.
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし,$k$を定数とする.$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第4問
微分可能な関数$f(x)$は,$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$,$f(1)=0$を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ.
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし,$k$を定数とする.$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2015年 第1問
袋の中に$5$個の玉が入っている.それらは,$0$と書かれた玉が$2$個,$1$と書かれた玉,$-1$と書かれた玉,$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである.この袋の中から$3$個の玉を取り出す.取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする.次に,袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする.このように定義された$m$と$n$のもとで,$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ.
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ.
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて,それぞれが起こる確率を求めよ.
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ.
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち,同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2015年 第1問
$a$を定数とする.$x$についての方程式
\[ |(x-4)(x-2)|=ax-5a+\frac{1}{2} \]
が相異なる$4$つの実数解をもつとき,$a$の範囲は,$\displaystyle [ア]+\sqrt{[イ]}<a<\frac{1}{[ウ]}$である.
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