筑波大学
2015年 理系 第3問
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$p$と$q$は正の整数とする．$2$次方程式$x^2-2px-q=0$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．ただし$\alpha>\beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{1}{2}(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．ただし$\alpha^0=1$，$\beta^0=1$と定める．
(1) すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ．
(2) すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．
(3) 自然数$n$に対し，$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．
(1) すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=2pa_{n+1}+qa_n$であることを示せ．
(2) すべての自然数$n$に対して，$a_n$は整数であることを示せ．
(3) 自然数$n$に対し，$\displaystyle \frac{\alpha^{n-1}}{2}$以下の最大の整数を$b_n$とする．$p$と$q$が$q<2p+1$を満たすとき，$b_n$を$a_n$を用いて表せ．
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