$a$は正の定数とする．関数$f(x)=ax-x \log x$の最大値が$1$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$\displaystyle -\frac{1}{2}$であるものを求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$(2)$で求めた接線によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$xy$平面上において，媒介変数$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$によって$x=a(2 \cos \theta+\cos 2\theta+1)$，$y=a(2 \sin \theta+\sin 2\theta)$と表される下図の曲線について考える．ただし，$a$は正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{d\theta},\ \frac{dy}{d\theta}$を求めよ．
(2)$x$が最大となる点を点$\mathrm{A}$，$y$が最大となる点を点$\mathrm{B}$，$x$が最小となる点を点$\mathrm{C}$と定める．このとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標および各点での媒介変数$\theta$の値を求めよ．
(3)曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{B}(x_2,\ y_2)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．
\[ \alpha=x_1+y_1 i,\quad \beta=x_2+y_2 i \]
とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{4} |\alpha \overline{\beta|-\overline{\alpha} \beta} \]
で表されることを示しなさい．ただし，$\overline{\alpha}$，$\overline{\beta}$はそれぞれ$\alpha,\ \beta$と共役な複素数である．
(2)$k$を$2$より大きい定数とする．$\alpha,\ \beta$が
\[ \alpha^2+\beta^2=1 \quad \text{かつ} \quad |\alpha-1|+|\alpha+1|=k \]
を満たすとき，次の各値は$\alpha,\ \beta$によらず一定であることを示しなさい．

(i) $|\alpha|^2+|\beta|^2$
(ii) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S$

$a$を定数とし，関数$f(x)=(x-a)e^{\frac{x^2}{2}}$で表される曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$が極値を持たないために$a$が満たすべき条件を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線が原点を通るような$t$の値を考える．すべての実数の中で，そのような$t$の値が$3$つあるために$a$が満たすべき条件を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$\displaystyle f(x)=x^3-ax^2+\frac{1}{3}(a^2-4)x$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

関数$f(x)=xe^x$で定まる曲線$C:y=f(x)$を考える．$p$を正の数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，すべての$x$について
\[ \{ (ax+b)e^x \}^\prime=f(x) \]
が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における$C$の接線を$\ell:y=c(x-p)+d$とする．$c$と$d$の値を$p$を用いて表せ．さらに，区間$x \geqq 0$において関数$g(x)=f(x)-\{ c(x-p)+d \}$の増減を調べ，不等式
\[ f(x) \geqq c(x-p)+d \quad (x \geqq 0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$の範囲で，曲線$C$と接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形を$F$とする．その面積$S(p)$を求めよ．
(4)$2$辺が$x$軸，$y$軸に平行な長方形$R$を考える．$R$が図形$F$を囲んでいるとき，$R$の面積の最小値$T(p)$を求めよ．さらに，$\displaystyle \lim_{p \to \infty} \frac{S(p)}{T(p)}$を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)=\sin 2x+a \cos x+b$とする．$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)=\sqrt{3}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線が，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\pi}{2}+2 \sqrt{3},\ 0 \right)$を通るとき，$a,\ b$の組をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$で定められる$f(x)$のうち，$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極値をとるものについて考える．このとき$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$f(x)$のすべての極値を求めよ．

放物線$y=x^2$と円$\displaystyle x^2+(y-3)^2=\frac{r^2}{4}$について，次の問いに答えよ．ただし，$r$は正の定数である．

(1)$r=6$のとき，放物線と円の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$r$がすべての正の実数値をとって変化するとき，放物線と円の共有点の個数はどのように変わるか，調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3-2kx^2+(k+3)x+5$が極値をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\cos 3x \cos x| \, dx$を求めよ．
(3)複素数$z$が$|z-2i|=2$を満たすとき，$|z-2 \sqrt{3|}$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$z$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．