「定数」について
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(4ページ目:全1257問中31問~40問を表示)![鳥取大学](./img/univ/tottori.png)
実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする.$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき,次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ.
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ.
(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ.
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
次の問いに答えよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う.どの試合でも,$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$,$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$,引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして,$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ.
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において,
$\mathrm{BC}=30$,$\mathrm{CA}=26$,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$,
$\mathrm{OA}=18$,$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき,辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ.
![東京農工大学](./img/univ/tokyonoukou.png)
$a$を正の実数とし,$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.
(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
![福島大学](./img/univ/fukushima.png)
$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$($p$は正の定数)とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)関数$F(x)$を微分しなさい.
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
(1)関数$F(x)$を微分しなさい.
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)を微分しなさい.
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$($A,\ B,\ C$は定数)と表すことができる.このとき,$A,\ B,\ C$の値を求めなさい.
ただし,$F(0)$,$F^\prime(0)$,$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい.
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.このとき,$T_1,\ T_2$の値を求めなさい.
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
![千葉大学](./img/univ/chiba.png)
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.
(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.
(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.
(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.