「奇数」について
タグ「奇数」の検索結果
(2ページ目:全170問中11問~20問を表示)![名城大学](./img/univ/meijou.png)
次の$[ア]$~$[エ]$に数を入れよ.
(1)$2$つのさいころを投げ,出た目が両方とも奇数である事象を$A$,出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする.このとき,$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり,$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である.
(2)$p$を定数とする.$x$の$1$次式$f(x)$が,
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき,$p=[ウ]$である.また,$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である.
(1)$2$つのさいころを投げ,出た目が両方とも奇数である事象を$A$,出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする.このとき,$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり,$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である.
(2)$p$を定数とする.$x$の$1$次式$f(x)$が,
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき,$p=[ウ]$である.また,$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である.
![自治医科大学](./img/univ/jichi.png)
$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$,その$4$桁の整数のうち,両端が奇数であるものの個数を$M$とする.$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ.ただし,同じ数字は$2$度以上使わないものとする.
![南山大学](./img/univ/nanzan.png)
次の$[ ]$の中に答を入れよ.
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である.$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき,定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である.
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である.また,方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である.
(3)$0<\theta<\pi$とする.方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり,方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である.
(4)$3$つのさいころを同時に投げる.このとき,出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり,出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である.
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である.$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき,定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である.
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である.また,方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である.
(3)$0<\theta<\pi$とする.方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり,方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である.
(4)$3$つのさいころを同時に投げる.このとき,出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり,出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
次の問に答えよ.
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は,すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $a_1=256$であるとき,$a_4$は$[コ]$であり,$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である.
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき,$a_4$は$[シ]$であり,$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である.
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する.
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える.$4$回投げたとき,$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である.また,$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき,$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である.
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は,すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする.このとき,次の各問いに答えよ.
(i) $a_1=256$であるとき,$a_4$は$[コ]$であり,$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である.
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき,$a_4$は$[シ]$であり,$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である.
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する.
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える.$4$回投げたとき,$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である.また,$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき,$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
同じ大きさのカードが$8$枚ある.カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており,それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている.壺にこれら$8$枚のカードを入れる.
(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く.引いたカードの$2$枚には,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており,かつ,残りの$1$枚には,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である.
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す.壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き,それらを戻さずに,続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く.最初に引いた$3$枚のカードには,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており,かつ,最後に引いた$2$枚のカードには,$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と,$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である.
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す.次に,$8$個の箱を横に並べ,左から順に$1$から$8$までの番号をつける.壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き,引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく.例えば,$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる.このとき,奇数が書かれているすべてのカード($1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚)は,カードの数字と同じ番号の箱に入り,かつ,偶数が書かれているすべてのカード($2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚)は,カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である.
(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く.引いたカードの$2$枚には,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており,かつ,残りの$1$枚には,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である.
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す.壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き,それらを戻さずに,続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く.最初に引いた$3$枚のカードには,$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と,$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており,かつ,最後に引いた$2$枚のカードには,$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と,$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である.
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す.次に,$8$個の箱を横に並べ,左から順に$1$から$8$までの番号をつける.壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き,引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく.例えば,$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる.このとき,奇数が書かれているすべてのカード($1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚)は,カードの数字と同じ番号の箱に入り,かつ,偶数が書かれているすべてのカード($2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚)は,カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である.
![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
以下の問に答えよ.
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ.
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある.角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき,長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる.したがって,$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる.
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし,} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする.このとき,次の問に答えよ.
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする.角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき,$a_k$,$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を,$\theta_k$,$\alpha$を用いて表せ.
(ii) $n$が奇数のとき,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ.
(iii) $n$が偶数のとき,$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ.さらに,その等しい角を$\theta$とおいて,$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$,$\theta$を用いて表せ.
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し,$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ.
(図は省略)
![京都薬科大学](./img/univ/kyotoyakka.png)
次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$[コ]$においては,$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである.
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である.
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$[コ]$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる.
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える.$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である.$2$次方程式$①$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$[セ]$である.$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である.
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である.よって,$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$[ツ]$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
![龍谷大学](./img/univ/ryukoku.png)
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う.$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり,そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを,$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている.
$2$人が,それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び,同時に出す.このとき大きい数を出した方を勝ちとする.
この勝負を,$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う.
(1)$1$回目の勝負で,$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい.
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい.
$2$人が,それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び,同時に出す.このとき大きい数を出した方を勝ちとする.
この勝負を,$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う.
(1)$1$回目の勝負で,$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい.
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい.
![沖縄国際大学](./img/univ/okinawakokusai.png)
以下の各問いに答えなさい.
(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.
有理数,自然数,整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.
「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.
有理数,自然数,整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.
「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
![高崎経済大学](./img/univ/takasaki.png)
次の各問に答えよ.なお,整数$a,\ b,\ c$について,$a=bc$と表されるとき,$a$は$b$の倍数であるという.
(1)$x$は実数とする.不等式$x^4-x^2-20<0$を解け.
(2)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数
(1)$x$は実数とする.不等式$x^4-x^2-20<0$を解け.
(2)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする.次の命題の真偽を調べよ.また,真である場合には証明し,偽である場合には反例をあげよ.
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数