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私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ア]$～$[エ]$に数を入れよ．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
私立 自治医科大学 2016年 第18問$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．
私立 南山大学 2016年 第1問次の$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
(1)放物線$C_1:y=x^2+ax+8$を$x$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線$C_2$の方程式は$y=[ア]$である．$C_2$を$y$軸に関して対称移動した放物線が$C_1$に一致するとき，定数$a$の値を求めると$a=[イ]$である．
(2)$455$と$273$の最大公約数は$[ウ]$である．また，方程式$455x+273y=2821$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めると$(x,\ y)=[エ]$である．
(3)$0<\theta<\pi$とする．方程式$\cos 2\theta-\sin \theta=0$を解くと$\theta=[オ]$であり，方程式$\sin 2\theta-\cos 2\theta-\sqrt{6} \sin \theta+1=0$を解くと$\theta=[カ]$である．
(4)$3$つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は$[キ]$であり，出る目の積が$4$以上の偶数になる確率は$[ク]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は，すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a_1=256$であるとき，$a_4$は$[コ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である．
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき，$a_4$は$[シ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である．
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する．
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である．
(1)負でない実数の数列$a_1,\ a_2,\ \cdots$は，すべての$n=1,\ 2,\ \cdots$に対して
\[ a_{n+1}=\sqrt{a_n} \]
を満たしているとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(i) $a_1=256$であるとき，$a_4$は$[コ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[サ]$である．
(ii) $\displaystyle a_1=\frac{1}{256}$であるとき，$a_4$は$[シ]$であり，$2^{-\frac{1}{100}} \leqq a_n \leqq 2^{\frac{1}{100}}$を満たす最小の自然数$n$は$[ス]$である．
(iii) $a_1=a_2=a_3=\cdots$となるような初項$a_1$は$[セ]$個存在する．
(2)$1$つのサイコロを何回か投げる場合を考える．$4$回投げたとき，$1$または$2$の目が奇数回出る確率は$[ソ]$である．また，$n$回投げたときに$1$または$2$の目が奇数回出る確率を$p_n$とするとき，$p_n$を$n$の式で表すと$[タ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第3問同じ大きさのカードが$8$枚ある．カードそれぞれに$1$から$8$までの整数がひとつ書かれており，それぞれの整数は$1$枚にのみ書かれている．壺にこれら$8$枚のカードを入れる．
(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く．引いたカードの$2$枚には，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており，かつ，残りの$1$枚には，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である．
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す．壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き，それらを戻さずに，続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く．最初に引いた$3$枚のカードには，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており，かつ，最後に引いた$2$枚のカードには，$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と，$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である．
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す．次に，$8$個の箱を横に並べ，左から順に$1$から$8$までの番号をつける．壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き，引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく．例えば，$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる．このとき，奇数が書かれているすべてのカード（$1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚）は，カードの数字と同じ番号の箱に入り，かつ，偶数が書かれているすべてのカード（$2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚）は，カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である．
(1)この壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引く．引いたカードの$2$枚には，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字が書かれており，かつ，残りの$1$枚には，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[チ]$である．
(2)$(1)$で引いたカードをすべて壺に戻す．壺から無作為に$3$枚のカードを同時に引き，それらを戻さずに，続けて無作為に$2$枚のカードを同時に引く．最初に引いた$3$枚のカードには，$1,\ 2,\ 3$のうちのどれかふたつの数字と，$4$から$8$までのどれかひとつの数字が書かれており，かつ，最後に引いた$2$枚のカードには，$7,\ 8$のうちのどれかひとつの数字と，$1$から$6$までのどれかひとつの数字が書かれている確率は$[ツ]$である．
(3)$(2)$で引いたカードをすべて壺に戻す．次に，$8$個の箱を横に並べ，左から順に$1$から$8$までの番号をつける．壺から$1$枚ずつカードを無作為に引き，引いた順番と同じ番号の箱にカードを入れていく．例えば，$3$枚目に引いたカードは番号$3$の箱に入れる．このとき，奇数が書かれているすべてのカード（$1,\ 3,\ 5,\ 7$の$4$枚）は，カードの数字と同じ番号の箱に入り，かつ，偶数が書かれているすべてのカード（$2,\ 4,\ 6,\ 8$の$4$枚）は，カードの数字と異なる番号の箱に入っている確率は$[テ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問以下の問に答えよ．
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる．したがって，$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる．
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし，} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき，$a_k$，$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，$\theta_k$，$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $n$が奇数のとき，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ．
(iii) $n$が偶数のとき，$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$，$\theta$を用いて表せ．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し，$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．
（図は省略）
(1)次の空欄にあてはまる式または数を記入せよ．
半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する長方形$\mathrm{ABCD}$がある．角$\mathrm{OAB}$を$\displaystyle x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，長方形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ア]$となる．したがって，$x=[イ]$のとき最大面積$[ウ]$をとる．
(2)半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接する$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の内角
\[ \mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1} \mathrm{A}_{k+2} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n,\ n \geqq 3 \;;\; \text{ただし，} \mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_{n+2}=\mathrm{A}_2) \]
がすべて$\alpha (0<\alpha<\pi)$に等しいとする．このとき，次の問に答えよ．
(i) $a_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$は弧$\mathrm{A}_k \mathrm{A}_{k+1}$の長さを表すとする．角$\displaystyle \mathrm{OA}_k \mathrm{A}_{k+1}=\theta_k \left( 0<\theta_k<\frac{\pi}{2} \right)$とおくとき，$a_k$，$a_{k+1}$および$a_k+a_{k+1}$を，$\theta_k$，$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $n$が奇数のとき，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$は正$n$角形となることを示せ．
(iii) $n$が偶数のとき，$\theta_1=\theta_3=\cdots =\theta_{n-1}$を示せ．さらに，その等しい角を$\theta$とおいて，$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$の面積$S_n(\theta)$を$\alpha$，$\theta$を用いて表せ．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha$を$n$の式で表し，$(ⅲ)$における$S_n(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$を$n$の式で表せ．
（図は省略）
私立 京都薬科大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
私立 龍谷大学 2016年 第3問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のゲームを行う．$1$から$6$までの数が$1$つずつ記入された$6$枚のカードがあり，そのうち$\mathrm{A}$は奇数の書かれた$3$枚のカードを，$\mathrm{B}$は偶数の書かれた$3$枚のカードを持っている．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
$2$人が，それぞれ持っているカードから無作為に$1$枚を選び，同時に出す．このとき大きい数を出した方を勝ちとする．
この勝負を，$1$度出したカードは戻さずに続けて$2$回行う．
(1)$1$回目の勝負で，$\mathrm{A}$が勝つ確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{A}$が$2$連勝する確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$が$2$連敗する確率を求めなさい．
私立 沖縄国際大学 2016年 第2問以下の各問いに答えなさい．
(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．
有理数，自然数，整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．
「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」
(1)「実数」は，「実数」と「実数」に$3$つの演算（加法・減法・乗法）を行った場合，再び「実数」になる．同じように，同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が，再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい．
有理数，自然数，整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい．
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい．
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい．
「$n+1$が偶数ならば，$n$は奇数」
公立 高崎経済大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．
(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数
(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数
(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．
$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数