「奇数」について
タグ「奇数」の検索結果
（1ページ目：全170問中1問～10問を表示）
国立 埼玉大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$は整数とする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
国立 埼玉大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$は整数とする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．
国立 大阪大学 2016年 第4問正の整数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
とおき，$1$以上$n$以下のすべての奇数の積を$A_n$とする．
(1)$\log_2 n$以下の最大の整数を$N$とするとき，$2^NA_nS_n$は奇数の整数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=2+\frac{m}{20}$となる正の整数の組$(n,\ m)$をすべて求めよ．
(3)整数$a$と$0 \leqq b<1$をみたす実数$b$を用いて，
\[ A_{20}S_{20}=a+b \]
と表すとき，$b$の値を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第3問ある箱に$1$から$5$までの整数のうちひとつが書かれたカードがそれぞれ$1$枚入っている．そこから$1$枚カードをひき，数字を確認してから元の箱に戻す．このような操作を繰り返したとき，$k$回目に取り出したカードの数字を$A_k$とし，
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
\[ T_n=\sum_{k=1}^n A_k \]
とする．このとき，$T_n$が奇数となる確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{p_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第2問分母が奇数，分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする．例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから，ともに控えめな有理数である．$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して，集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を，
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める．例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから，$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である．
(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ．
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき，$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ．
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ．
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか．ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし，$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば，$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える．
国立 浜松医科大学 2016年 第1問自然数$n$のすべての正の約数の和を表す関数を$f(n)$，正の約数の個数を表す関数を$g(n)$とおく．ただし，$1$および$n$も$n$の正の約数であり$f(1)=g(1)=1$とする．例えば，$n=12$のとき，$n$の正の約数は$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12$なので
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
\[ f(12)=1+2+3+4+6+12=28,\quad g(12)=6 \]
である．以下の問いに答えよ．
(1)$f(24)$，$g(24)$の値を求めよ．
(2)$g(n)$の値が奇数となる$n$は，ある自然数の平方であることを証明せよ．
以下の問題では，$n$は偶数とする．
\mon[$(3)$] $m$を正の整数とし，$n=2^{m-1}(2^m-1)$とおく．このとき，$2^m-1$が素数ならば$f(n)=2n$となることを証明せよ．
\mon[$(4)$] 平方数ではない偶数$n$が$f(n)=2n$を満たしているとする．このとき，$n$のすべての正の約数の逆数の和はある一定の数に等しいことを示し，その数を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第5問以下の問いに答えなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．
(1)$x$を自然数とする．このとき，$x^2$を$4$で割ったときの余りは，$x$が偶数のときは$0$であり，$x$が奇数のときは$1$であることを証明しなさい．
(2)自然数の組$(x,\ y)$について，$5x^2+y^2$が$4$の倍数ならば，$x,\ y$はともに偶数であることを証明しなさい．
(3)自然数の組$(x,\ y)$で$5x^2+y^2=2016$を満たすものをすべて求めなさい．
私立 学習院大学 2016年 第2問袋の中に，$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$個の玉が入っている．袋から$6$個の玉を$1$つずつ取り出していき，$k$番目に取り出した玉に書かれた番号を$a_k$とする（$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 6$）．ただし，取り出した玉は袋に戻さない．
(1)$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$が成り立つ確率を求めよ．
(2)$a_6$が偶数であったとき，$a_1$が奇数である確率を求めよ．
(1)$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$が成り立つ確率を求めよ．
(2)$a_6$が偶数であったとき，$a_1$が奇数である確率を求めよ．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$2x+3y=2$のとき，$x^2 \leqq y \leqq 2x$を満たす$x$の範囲は，
\[ [ア] \leqq x \leqq [イ] \]
である．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて出た目の積$M$が奇数となる確率は$[ウ]$である．また，$M$を$3$で割ったときの余りが$2$となる確率は$[エ]$である．
(1)$2x+3y=2$のとき，$x^2 \leqq y \leqq 2x$を満たす$x$の範囲は，
\[ [ア] \leqq x \leqq [イ] \]
である．
(2)$3$個のさいころを同時に投げて出た目の積$M$が奇数となる確率は$[ウ]$である．また，$M$を$3$で割ったときの余りが$2$となる確率は$[エ]$である．