「垂直」について
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国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{W}(w)$，$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{AB}=4$とする．$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$上の点で線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$が垂直になるものとする．また，線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．
(4)$\mathrm{OR}:\mathrm{RP}$を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第4問実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする．関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ．
国立 京都工芸繊維大学 2016年 第1問空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり，
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x^2+2 |x+1|+1$に対し，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．点$\mathrm{P}(t,\ f(t)) (t>-1)$における曲線$C$の接線に垂直で，点$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を，$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が点$(-1,\ f(-1))$を通るとき，$t$の中で最も小さいものを求めよ．
(3)$(2)$で求めた$t$が定める直線$\ell$と曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 弘前大学 2016年 第3問円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(6,\ 0)$を通り，$\ell$に垂直な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AQ} \cdot \mathrm{PQ}$の最大値を求めよ．
国立 秋田大学 2016年 第2問$a$は実数とする．座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(a^3+a-4,\ 5)$，$\mathrm{B}(2a,\ 3)$，$\mathrm{C}(a+1,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．
(1)$a=0$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直で，大きさが$1$のベクトルを求めよ．
(2)$a=0$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が一直線上に並ぶ場合があるか調べよ．