「原点」について
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国立 愛媛大学 2016年 第4問$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．
国立 愛媛大学 2016年 第1問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 愛媛大学 2016年 第3問$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$a=2$のとき$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$a=2$のとき$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2016年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$，そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．
(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$，円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき，$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$，そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．
(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$，円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき，$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 愛媛大学 2016年 第5問$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して，線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
(1)球$S$の方程式を求めよ．
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$，および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して，$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．ただし，$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である．
国立 帯広畜産大学 2016年 第1問原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$における円$C$の接線$L$の方程式を$y=ax+b$とする．接線$L$は，$x$軸と点$\mathrm{A}$で，$y$軸と点$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$S$とする．また，$x$軸の正の向きを始線とし，それと直線$\mathrm{OP}$のなす正の角を$\theta$で表す．ただし，
\[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (*) \]
とする．次の各問に答えなさい．
(1)$(ⅰ)$ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい．
$(ⅱ)$ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．
$(ⅲ)$ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする．
$(ⅰ)$ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
$(ⅲ)$ $\tan 2\theta$の値を求めなさい．
(3)$\theta<2\pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい．
(4)$\theta<200 \pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい．
\[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (*) \]
とする．次の各問に答えなさい．
(1)$(ⅰ)$ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい．
$(ⅱ)$ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．
$(ⅲ)$ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする．
$(ⅰ)$ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい．
$(ⅱ)$ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい．
$(ⅲ)$ $\tan 2\theta$の値を求めなさい．
(3)$\theta<2\pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい．
(4)$\theta<200 \pi$とする．$S$が最小になるとき，条件$(*)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい．
国立 帯広畜産大学 2016年 第2問関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
国立 豊橋技術科学大学 2016年 第2問$xy$平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上の点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．なお，点$\mathrm{A}$の座標を$(r,\ 0)$，$\angle \mathrm{AOP}$の値を$\theta$とする．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(4)接線$\ell$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(5)$r=1$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，接線$\ell$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．
（図は省略）
(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，この円に接する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$上の点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{Q}(-r,\ 0)$を結んだ線分の長さが最小になるときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(4)接線$\ell$に関して，点$\mathrm{Q}$と対称な点$\mathrm{S}$の座標を求めよ．ただし，点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{Q}$と異なるものとする．
(5)$r=1$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，接線$\ell$に関して，直線$y=0$と対称な直線の方程式を求めよ．