$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\theta$の方程式$\cos 3\theta+\cos \theta=0$を解け．
(2)$k$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ \cos 3\theta-k \cos \theta=0 \]
が解をもつ$k$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．
(3)$m$と$n$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ m \cos \theta-3 \cos 3\theta+n(1+\cos 2\theta)=0 \]
が解をもつ$m,\ n$の組$(m,\ n)$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．

次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[　]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$n$を正の整数とする．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく．以下の問に答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．

(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

次の条件（ア），（イ）を満たす複素数$z$を考える．

（ア） $\displaystyle z+\frac{i}{z}$は実数である
（イ） $z$の虚部は正である

ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$r=|z|$とおくとき，$z$を$r$を用いて表せ．
(2)$z$の虚部が最大となるときの$z$を求めよ．

関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ．

(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は

$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

$xy$平面において，点$(0,\ 2)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．また，放物線$y=ax^2$を$P$とする．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)円$C$と放物線$P$との共有点が円$C$の円周の長さを$3$等分するとき，$a$の値を求めよ．
(2)$a$の値を$(1)$で求めたものとする．このとき，円$C$と放物線$P$により囲まれてできる図形のうち，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3}{2} \right)$を内部に含む図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し，$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき，$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．