$a$は正の数とし，次の関数$y=f_a(x)$のグラフの変曲点を$\mathrm{P}$とする．
\[ f_a(x)=axe^{-\frac{x}{a}} \quad (x \geqq 0) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$a$が区間$1 \leqq a \leqq 2$全体を動くとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$の概形を図示せよ．
(3)$x \geqq 0$における曲線$y=f_1(x)$，$y=f_2(x)$と$(2)$の曲線$C$の$3$曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=k$，$\mathrm{CA}=2k$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle \tan C=\frac{3}{4}$となるときの，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．

平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:x^2+(y-5)^2=16,\quad C_2:y=\frac{1}{4}x^2 \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点の座標を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$を同一平面上に図示せよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$を$C_1$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{P}$と点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( 2a,\ \frac{a^2}{4}-2 \right)$の距離の最小値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を中心とする円$\displaystyle (x-2a)^2+\left( y-\frac{a^2}{4}+2 \right)^2=2a^2$を$C_2$とする．$\mathrm{P}$が$C_1$上を動き，点$\mathrm{R}$が$C_2$上を動くとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離の最小値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．

\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える．また，$u=st$とする．点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし，これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える．台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする．$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ．
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする．このとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$をとり，さらに$1<a<3$を満たす定数$a$に対して点$\mathrm{P}(t,\ ta,\ ta)$をとる．ただし，$t$は$t>0$の範囲を動くものとする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め，そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ．



以下，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．


\mon[$(3)$] 点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}$を求めよ．
\mon[$(4)$] 四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2)複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$を一辺の長さ$6$の正三角形とする．サイコロを$3$回振り，出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする．出た目に応じて，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ線分$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上に
\[ \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{X}{6} \overrightarrow{\mathrm{BC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\frac{Y}{6} \overrightarrow{\mathrm{CA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\frac{Z}{6} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
をみたすように取る．

(1)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_1$，点$\mathrm{C}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_2$，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$を互いに線分で結んでできる図形を$T_3$とする．$T_1,\ T_2,\ T_3$のうち，ちょうど$2$つが正三角形になる確率を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とし，$S$のとりうる値の最小値を$m$とする．$m$の値および$S=m$となる確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．

\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．