埼玉大学
2016年 理学部 第2問
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![f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}とする．次の問いに答えよ．(1)g(f(x))=f(2x+1)が成り立つことを示せ．(2)数列{a_n}をa_1=1,a_{n+1}=2a_n+1(n=1,2,3,・・・)により定め，数列{b_n}をb_1=1/2,b_{n+1}=g(b_n)(n=1,2,3,・・・)により定める．\mon[（ア）]b_n=f(a_n)(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．\mon[（イ）]数列{a_n},{b_n}の一般項をそれぞれ求めよ．\mon[（ウ）]\lim_{n→∞}b_nを求めよ．](./thumb/118/1351/2016_2.png)
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$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．
(1) $g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定め，数列$\{b_n\}$を \[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．
[（ア）] $b_n=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ． [（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ． [（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1) $g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定め，数列$\{b_n\}$を \[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．
[（ア）] $b_n=f(a_n) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ． [（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ． [（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
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