次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2) $a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ \ (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ． [（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい． [（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ． [（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．