円上の$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び，円周を$5$等分している．$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）

$\triangle \mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{R}^\prime$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$，外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．

整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば，$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき，$P(x)$を整数値整式という．また，$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$f_1(x)=x$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x(x-1)$，$\displaystyle f_3(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$とする．

(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．

\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．

(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．

\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．

$0$でない複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2=0$を満たすとする．複素数平面上の$4$点を$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(-\beta)$として，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$の絶対値$r$および偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$\triangle \mathrm{ABO}$の$3$つの角の大きさを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABO}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．

空間内の平面$\alpha$上に平行四辺形$\mathrm{OABC}$があり，
\[ \mathrm{OA}=2,\quad \mathrm{OC}=3,\quad \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3} \]
とする．点$\mathrm{C}$を通り$\alpha$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，
\[ \mathrm{CD}=1 \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$を通る平面を$\beta$とし，$\mathrm{C}$を通り$\beta$に垂直な直線と$\beta$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\triangle \mathrm{OBD}$の面積を求めよ．
(2)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．

$a$を実数とする．関数
\[ f(x)=e^{ax} \left( 1-\frac{2}{x} \right) \quad (x>0) \]
を考える．$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$の個数を$k$とする．

(1)$k=0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$k=1$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=1$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t$とする．関数$f(x)$が$x=t$において極値をとるかどうかを調べよ．
(3)$k=2$となるような$a$の値の範囲を求めよ．$k=2$のとき，$f^\prime(x)=0$となる正の実数$x$を$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とする．関数$f(x)$が$x=t_1$および$x=t_2$のそれぞれにおいて極値をとるかどうかを調べよ．

実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．

自然数$n$と多項式$f(x)$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3 \neq 0$を示せ．
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$，$a_2=0$，$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_4 6,\ \log_8 9,\ \log_9 8$を小さい順にならべよ．
(2)関数$\displaystyle y=\log_{\frac{1}{2}} (5-x)+\log_{\frac{1}{8}} (x-1)^3$の最小値を求めよ．