「分数」について
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国立 鳥取大学 2016年 第3問実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
国立 鳥取大学 2016年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．
国立 鳥取大学 2016年 第4問実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第5問曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く．正の実数$r$に対して，$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第6問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．