「互いに素」について
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国立 滋賀大学 2016年 第3問$6$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$から異なる$5$個の数字を並べて$5$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第6問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 千葉大学 2016年 第5問$p$を$2$でない素数とし，自然数$m,\ n$は
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
\[ (m+n \sqrt{p})(m-n \sqrt{p})=1 \]
を満たすとする．
(1)互いに素な自然数の組$(x,\ y)$で
\[ m+n \sqrt{p}=\frac{x+y \sqrt{p}}{x-y \sqrt{p}} \]
を満たすものが存在することを示せ．
(2)$x$は$(1)$の条件を満たす自然数とする．$x$が$p$で割り切れないことと，$m$を$p$で割った余りが$1$であることが，同値であることを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
国立 鹿児島大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とする．次の事実がある．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
私立 獨協医科大学 2016年 第4問次の問いに答えなさい．ただし，$[チ]$には$[$\mathrm{X]$}$～$[$\mathrm{Z]$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい．
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
\[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと
\[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{[ア]},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{[イ] \sqrt{[ウ]}i} \]
となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+[エオ]a_{n+1}+[カキ]a_n=0 \quad \cdots\cdots \ ①$
$b_{n+2}+[エオ]b_{n+1}+[カキ]b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ ②$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (*)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(i) $n=1,\ 2$のとき
\[ a_1=[クケ],\quad b_1=[コ],\quad a_2=[サ],\quad b_2=[シスセ] \]
であるから，$(*)$が成り立つ．
(ii) $n=k,\ k+1$のとき$(*)$が成り立つと仮定する．
まず$①,\ ②$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$[$\mathrm{X]$}$である．ここで
\[ {a_n}^2+48{b_n}^2=[ソタ]^n \quad \cdots\cdots \ ③ \]
がすべての自然数$n$で成り立つ．$[ソタ]$が$[$\mathrm{Y]$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$[$\mathrm{Z]$}$と仮定すると$③$より，これら$2$数は$[ソタ]$の倍数でなければならない．ところが，このとき$①,\ ②$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$[ソタ]$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(*)$が成り立つ．
$(ⅰ),\ (ⅱ)$より，すべての自然数$n$について$(*)$が成り立つ．
$[チ]$の選択肢
\[ \begin{array}{ccccccccc}
& \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\
\nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\
\nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である}
\end{array} \]
私立 大阪工業大学 2016年 第3問次の空所を埋めよ．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．