次の問いに答えなさい．ただし，$\fbox{チ}$には$\fbox{$\mathrm{X}$}$～$\fbox{$\mathrm{Z}$}$に入る言葉の組合せとして最も適切なものを，下の選択肢$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$のうちから一つ選びなさい．
複素数$\alpha$を$\alpha=-7+4 \sqrt{3}i$とし，実数の数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を \[ a_n+4 \sqrt{3} b_n i=\alpha^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定める．ただし，$i$は虚数単位である．$a_n$と$b_n$を$\alpha$とその共役な複素数$\overline{\alpha}$で表すと \[ a_n=\frac{\alpha^n+(\overline{\alpha})^n}{\fbox{ア}},\quad b_n=\frac{\alpha^n-(\overline{\alpha})^n}{\fbox{イ} \sqrt{\fbox{ウ}}i} \] となるので，数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は漸化式
$a_{n+2}+\fbox{エオ}a_{n+1}+\fbox{カキ}a_n=0 \quad \cdots\cdots \ \maruichi$
$b_{n+2}+\fbox{エオ}b_{n+1}+\fbox{カキ}b_n=0 \quad\;\;\!\! \cdots\cdots \ \maruni$
を満たす．これらを用いて，すべての自然数$n$に対して
$a_n$と$b_n$が互いに素な整数である $\quad \cdots\cdots \ (\ast)$
ことを，数学的帰納法により証明する．
(ⅰ) $n=1,\ 2$のとき \[ a_1=\fbox{クケ},\quad b_1=\fbox{コ},\quad a_2=\fbox{サ},\quad b_2=\fbox{シスセ} \] であるから，$(\ast)$が成り立つ．
(ⅱ) $n=k,\ k+1$のとき$(\ast)$が成り立つと仮定する．
まず$\maruichi,\ \maruni$より，$a_{k+2},\ b_{k+2}$は$\fbox{$\mathrm{X}$}$である．ここで \[ {a_n}^2+48{b_n}^2=\fbox{ソタ}^n \quad \cdots\cdots \ \marusan \] がすべての自然数$n$で成り立つ．$\fbox{ソタ}$が$\fbox{$\mathrm{Y}$}$であるから，$a_{k+2},\ b_{k+2}$が$\fbox{$\mathrm{Z}$}$と仮定すると$\marusan$より，これら$2$数は$\fbox{ソタ}$の倍数でなければならない．ところが，このとき$\maruichi,\ \maruni$より$a_{k+1},\ b_{k+1}$は$\fbox{ソタ}$の倍数となり，数学的帰納法の仮定と矛盾する．よって，$n=k+2$のときも$(\ast)$が成り立つ．
$\tokeiichi,\ \tokeini$より，すべての自然数$n$について$(\ast)$が成り立つ．
$\fbox{チ}$の選択肢 \[ \begin{array}{ccccccccc} & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} & & & \mathrm{X} & \mathrm{Y} & \mathrm{Z} \\ \nagamaruichi & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruni & \text{整数} & \text{素数} & \text{互いに素である} \\ \nagamarusan & \text{素数} & \text{素数} & \text{互いに素でない} & & \nagamarushi & \text{整数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \\ \nagamarugo & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素でない} & & \nagamaruroku & \text{素数} & \text{整数} & \text{互いに素である} \end{array} \]