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一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第3問
硬貨が$2$枚ある.最初は$2$枚とも表の状態で置かれている.次の操作を$n$回行った後,硬貨が$2$枚とも裏になっている確率を求めよ.


\mon[(操作)] $2$枚とも表,または$2$枚とも裏のときには$2$枚の硬貨両方を投げ,表と裏が$1$枚ずつのときには,表になっている硬貨だけを投げる.
東京工業大学 国立 東京工業大学 2016年 第3問
水平な平面$\alpha$の上に半径$r_1$の球$S_1$と半径$r_2$の球$S_2$が乗っており,$S_1$と$S_2$は外接している.

(1)$S_1,\ S_2$が$\alpha$と接する点をそれぞれ$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$とする.線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを求めよ.
(2)$\alpha$の上に乗っており,$S_1$と$S_2$の両方に外接している球すべてを考える.それらの球と$\alpha$の接点は,$1$つの円の上または$1$つの直線の上にあることを示せ.
横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2016年 第4問
$a$を正の定数とする.$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$と$C_2:y=ax^2$の両方に接する直線の本数を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ.
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき,関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ.また,そのときの$x$の値を求めよ.
(3)複素数平面上で,点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある.この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき,残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ.ただし,$i$は虚数単位とする.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第5問
$f(x)=x^3$,$g(x)=x^3-4$とし,曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
東北学院大学 私立 東北学院大学 2016年 第1問
次の各問題の$[ ]$に適する答えを記入せよ.

(1)$\sin \theta+\cos \theta=k$とするとき$\displaystyle \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta}$を$k$を用いて表すと$[ア]$である.
(2)$2^{2016} \cdot 3^{2020}$は$[イ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
(3)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 3)$,$\overrightarrow{b}=(2,\ 0,\ -3)$の両方に垂直で,大きさが$1$のベクトルを成分表示すると$[ウ]$となる.
名城大学 私立 名城大学 2016年 第1問
次の$[ア]$~$[エ]$に数を入れよ.

(1)$2$つのさいころを投げ,出た目が両方とも奇数である事象を$A$,出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする.このとき,$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり,$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である.
(2)$p$を定数とする.$x$の$1$次式$f(x)$が,
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき,$p=[ウ]$である.また,$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である.
同志社大学 私立 同志社大学 2016年 第3問
座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 5)$,$\mathrm{C}(2,\ 3,\ -1)$,$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$を考える.ただし,$0 \leqq \theta<2\pi$とする.次の問いに答えよ.

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ.
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で,大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ.
(3)点$\mathrm{P}$から,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に,下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ.
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第1問
次の空欄$[ア]$~$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ.

(1)$x,\ y$を実数とするとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり,最大値は$[イ]$である.
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは,$x=[ウ]$,$y=[エ]$のときである.
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき,関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は,$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる.
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$,$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき,$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である.また,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると,$\cos \theta=[ク]$である.
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている.この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき,取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である.このとき,袋の中の白玉は$[ケ]$個である.また,取り出した玉を元に戻し,この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき,赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である.
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「両方」とは・・・

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