関数$f(x)=x+\sqrt{4-x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ．また，$f^\prime(x)=0$を解け．
(3)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，凹凸は調べなくてもよい．
(4)$4-x^2=t$とおき，置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$C:y=ax^2-6ax (x \leqq 3)$上の点$\mathrm{A}$の$x$座標は$2$である．以下の問いに答えよ．ただし，$a$は負の定数とする．

(1)$C$の点$\mathrm{A}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$で$\ell$と垂直に交わる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1(a)$を求めよ．
(4)$C$と$m$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S_2(a)$を求めよ．

$k,\ a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の$4$次式$x^4-4x^3+5x^2+kx-8$を因数分解すると
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる．このとき，

(1)$c=[ケコ]$である．
(2)$a<b$ならば，$a=[サシ]$，$b=[スセ]$であり，このとき$k=[ソ]$となる．
$a \geqq b$ならば，$a=[スセ]$，$b=[サシ]$であり，このとき$k=[タチツ]$となる．
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は，$a<b$のときは，$[テ]$であり，$a \geqq b$のときは，
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である．

次の空所を埋めよ．

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．

次の空所を埋めよ．

(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ．

$2$次方程式$x^2-kx-2k=3$が実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$k \leqq -[ア]$，$-[イ] \leqq k$である．また，この$2$次方程式の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha \geqq \beta)$とするとき，$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\beta^2=3$を満たすならば，
\[ k=-[ウ],\quad \alpha=\frac{-[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]} \]
である．

関数$f(x)=|x^2-x|-x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)不等式$x^2-x<0$を解け．
(2)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)直線$\displaystyle y=a \left( x-\frac{1}{2} \right)$と$y=f(x)$のグラフがちょうど$2$点を共有するような定数$a$の値をすべて求めよ．

不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}-6 \left( \frac{1}{2} \right)^{x-1}+32 \leqq 0$を解くと$[　]$である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{24} \right)^{15}$は，小数第$[　]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$f(x)=(x-1) \sqrt{-x^2+4x-3} (1 \leqq x \leqq 3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$2$直線$x=1$，$\displaystyle y=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$とで囲まれる図形の面積を求めよ．