多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．

(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$に対して，
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\int_0^\pi |\sin (t-x)-\sin 2t| \, dt \]
の区間$0 \leqq x \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\theta$の方程式$\cos 3\theta+\cos \theta=0$を解け．
(2)$k$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ \cos 3\theta-k \cos \theta=0 \]
が解をもつ$k$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．
(3)$m$と$n$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ m \cos \theta-3 \cos 3\theta+n(1+\cos 2\theta)=0 \]
が解をもつ$m,\ n$の組$(m,\ n)$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\theta$の方程式$\cos 3\theta+\cos \theta=0$を解け．
(2)$k$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ \cos 3\theta-k \cos \theta=0 \]
が解をもつ$k$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．
(3)$m$と$n$を正の整数とする．$\theta$の方程式
\[ m \cos \theta-3 \cos 3\theta+n(1+\cos 2\theta)=0 \]
が解をもつ$m,\ n$の組$(m,\ n)$を求めよ．また，そのときの解$\theta$を求めよ．

次のように媒介変数表示された$xy$平面上の曲線を$C$とする：
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=3 \cos t-\cos 3t \phantom{\frac{8}{8}} \\
y=3 \sin t-\sin3 t \phantom{\frac{[　]}{8}}
\end{array} \right. \]
ただし$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$である．

(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}$および$\displaystyle \frac{dy}{dt}$を計算し，$C$の概形を図示せよ．
(2)$C$と$x$軸と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$y=f(x)$のグラフが媒介変数$\theta$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\sin \theta-\theta \cos \theta \phantom{\frac{1}{[　]}} \\
y=\cos \theta+\theta \sin \theta \phantom{\frac{1}{1}}
\end{array} \right. \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表されている．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta \sin 2\theta \, d\theta$および$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \theta^2 \cos 2\theta \, d\theta$を計算せよ．

(3)関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，および$2$直線$x=0$と$x=1$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AO}$との交点を$\mathrm{M}$とする．$5 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+3 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$が成り立っているとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{BM}$の長さを求めよ．
(4)$\cos \angle \mathrm{BOM}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \sin^2 t \, dt$，$\displaystyle \int \sin t \cos t \, dt$，$\displaystyle \int \cos^2 t \, dt$をそれぞれ求めよ．
(2)等式
\[ f(x)=\cos x+\frac{1}{\pi} \int_0^\pi f(t) \cos (t-x) \, dt \]
を満たす$f(x)$を求めよ．

実数$a,\ b$に対して，座標空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ 0,\ a)$，$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ b)$を考える．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が定める平面上に点$\mathrm{R}(1,\ 1,\ 1)$があるとき，$a$と$b$の関係を求め，$S$の最小値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．