「タチ」について
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私立 東邦大学 2016年 第5問$0^\circ<\theta<{90}^\circ$のとき，$\displaystyle 4(1+\sin \theta)-\frac{3}{1-\sin \theta}$の最大値は$[タチ] \sqrt{[ツ]}+[テ]$である．
私立 獨協医科大学 2016年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．
また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である．
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．
また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である．
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である．
私立 北海道薬科大学 2016年 第3問食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある．これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える．食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として，この操作を$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x_1$は$[アイ]$である．
(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．
(1)$x_1$は$[アイ]$である．
(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．
私立 千葉工業大学 2016年 第2問次の各問に答えよ．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$，$y \geqq 32$，$x^6y=256$をみたしている．$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は，$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される．$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり，$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$（$a,\ b$は定数）がある．$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり，$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき，$a=[セソ]$である．さらに，$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき，$b=[タチ]$であり，$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である．
私立 千葉工業大学 2016年 第4問$x$の$2$次関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x),\ \cdots$を条件
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である．
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=[タチ]$であり，$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)${f_n}^\prime(x)=[ア]a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は
\[ a_{n+1}=\frac{[イ]}{[ウ]}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{[エ]}{[オ]}a_n+[カ]b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．
(2)$\displaystyle a_n=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{[カ]}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{[ケ]}{[コ]} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3)$\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{[キ]}{[ク]} \right)^{n-1}x^2+\left\{ [サ] \cdot \left( \frac{[シ]}{[ス]} \right)^{n-1}-[セ] \cdot {[ソ]}^{n-1} \right\} x$
である．
(4)$x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=[タチ]$であり，$[タチ]<p_n<[タチ]+1$となるような最小の$n$は$[ツ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
私立 近畿大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
私立 近畿大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．四角形$\mathrm{DBCE}$は円$\mathrm{O}$に内接しており，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AD}=\mathrm{DE}$とする．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
(1)$\mathrm{AD}=\sqrt{[ア]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$であり，$\mathrm{DC}=\sqrt{[カキ]}$である．
(3)円$\mathrm{O}$の半径は$\displaystyle \frac{[ク] \sqrt{[ケコサ]}}{[シス]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ \frac{[セソ] \sqrt{[タチ]}-[ツ] \sqrt{[テト]}}{[ナニ]} \]
である．
私立 東洋大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．
(1)$2$次方程式$3x^2+x+a=0$（$a$は定数）の解が$\sin \theta,\ \cos \theta$のとき，
\[ \sin^3 \theta+\cos^3 \theta=-\frac{[アイ]}{[ウエ]} \]
である．
(2)$2^x=3$，$3^y=5$，$xyz=3$のとき，$5^z=[オ]$である．
(3)関数$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$は，$0 \leqq x \leqq 2$の範囲において，$x=[カ]$で最大値$[キ]$をとり，$\displaystyle x=\sqrt{\frac{[ク]}{[ケ]}}$で最小値$\displaystyle -\frac{[コ]}{[サ]}$をとる．
(4)直線$y=mx+4$（$m$は正の定数）が円$x^2+y^2=36$によって切りとられる弦の長さが$4 \sqrt{6}$のとき，$\displaystyle m=\frac{\sqrt{[シ]}}{[ス]}$である．
(5)$x^6$を$x^2-x-3$で割ったときの余りは$[セソ]x+[タチ]$である．
私立 九州産業大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$とするとき，$x^2-x=[ア]$，$x^3-4x+10=[イウ]$である．
(2)不等式$x^2+2x \leqq -x \leqq -x^2-2x+2$の解は$[エオ] \leqq x \leqq [カ]$である．
(3)$m$を定数とする．放物線$C:y=x^2-2mx+9$について，
(i) 放物線$C$が$x$軸に接するとき，$m=\pm [キ]$である．
(ii) 放物線$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わり，$x$軸から切り取る線分の長さが$8$であるとき，$m=\pm [ク]$である．
(iii) 放物線$C$が$x$軸の負の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$m<[ケコ]$である．
(4)$5$人が$1$回じゃんけんを行うとき，
(i) $1$人が勝ち，$4$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$である．
(ii) $2$人が勝ち，$3$人が負ける確率は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(iii) 誰も勝たない，すなわち，あいこになる確率は$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$である．
私立 千葉工業大学 2015年 第2問次の各問に答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は
$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は
$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$
$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，
$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．
(1)すべての実数$x$に対して
\[ x^2-3ax-a+7 \geqq 0 \cdots\cdots (*) \]
が成り立つような定数$a$の値の範囲は$\displaystyle [アイ] \leqq a \leqq \frac{[ウエ]}{[オ]}$である．
$x \leqq 1$であるすべての$x$に対して$(*)$が成り立つような$a$の値の範囲は
$[カキ] \leqq a \leqq [ク]$である．
(2)$\displaystyle F=\sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right)+\cos \theta$は
$\displaystyle F=\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]} \sin \theta+\frac{[サ]}{[シ]} \cos \theta$
$\phantom{F}=\sqrt{[ス]} \sin \left( \theta+\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]} \pi \right)$
と変形できる．ここで，$\displaystyle 0 \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \pi<2\pi$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，
$\displaystyle F \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}$をみたす$\theta$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[タチ]}{[ツテ]} \pi \leqq \theta \leqq \frac{[トナ]}{[ツテ]} \pi$である．