$x$の$2$次関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_n(x),\ \cdots$を条件
$f_1(x)=x^2-5x,$
$\displaystyle f_{n+1}(x)=x^2 \int_0^2 \{ t{f_n}^\prime(t)-f_n(t) \} \, dt+x \int_0^2 f_n(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
により定める．さらに，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を \[ f_n(x)=a_nx^2+b_nx \] により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) ${f_n}^\prime(x)=\fbox{ア}a_nx+b_n$であり，数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は \[ a_{n+1}=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}}a_n,\quad b_{n+1}=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}}a_n+\fbox{カ}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] をみたす．
(2) $\displaystyle a_n=\left( \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \right)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{{\fbox{カ}}^{n-1}}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}-c_n=\left( \frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}} \right)^n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つ．
(3) $\displaystyle f_n(x)=\left( \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \right)^{n-1}x^2+\left\{ \fbox{サ} \cdot \left( \frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}} \right)^{n-1}-\fbox{セ} \cdot {\fbox{ソ}}^{n-1} \right\} x$ である．
(4) $x$の方程式$f_n(x)=0$の$x=0$とは異なる解を$x=p_n$とする．不等式$p_n>M$がすべての正の整数$n$に対して成り立つような定数$M$のうち，最大の整数は$M=\fbox{タチ}$であり，$\fbox{タチ}<p_n<\fbox{タチ}+1$となるような最小の$n$は$\fbox{ツ}$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．