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北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第4問
関数$\displaystyle f(x)=\left( \log_4 \frac{x^2}{4} \right)^4-\log_2 \frac{x^4}{32} (1 \leqq x \leqq 16)$について,次の設問に答えよ.

(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$,最小値は$[イ]$である.
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる.
(3)$f(x)$は

$x=[ケコ]$のとき,最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき,最小値$[セソ]$

をとる.
埼玉工業大学 私立 埼玉工業大学 2016年 第2問
$k,\ a,\ b,\ c$を実数とする.$x$の$4$次式$x^4-4x^3+5x^2+kx-8$を因数分解すると
\[ (x^2+ax+4)(x^2+bx+c) \]
となる.このとき,

(1)$c=[ケコ]$である.
(2)$a<b$ならば,$a=[サシ]$,$b=[スセ]$であり,このとき$k=[ソ]$となる.
$a \geqq b$ならば,$a=[スセ]$,$b=[サシ]$であり,このとき$k=[タチツ]$となる.
(3)$(x^2+ax+4)(x^2+bx+c)=0$を満たす正の実数$x$は,$a<b$のときは,$[テ]$であり,$a \geqq b$のときは,
\[ \frac{[ト]+\sqrt{[ナニ]}}{[ヌ]} \]
である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ.ただし,空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす.

(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である.
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと,
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば,
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について,
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である.
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である.
(3)$a,\ b$を整数とする.$a$を$13$で割ると$10$余り,$b$を$13$で割ると$7$余るとき,$a+b$,$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$,$[ケ]$である.また,$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である.
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり,そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある.
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき,
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ,$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは,関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である.このとき,もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である.
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$,$y \geqq 0$を満たすとき,$6x+3y$は$x=[ケ]$,$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり,$x=[スセ]$,$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる.
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき,$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である.
東洋大学 私立 東洋大学 2016年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると,
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる.
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき,$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で,そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$,$y=[コ]$である.
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$,$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする.このとき,線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である.
(4)$k$を定数とするとき,方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第4問
$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり,$x=1$で極小値$0$をとる.

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$($a$は定数)と表せる.

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$($b$は定数)と表せる.

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から,$a=[カ]$,$b=[キ]$となる.よって,$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である.

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$,$[セ]$である.

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である.
東京経済大学 私立 東京経済大学 2015年 第3問
辺$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$が平行な台形$\mathrm{ABCD}$において,$\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{BC}=8$,$\mathrm{CD}=3$,$\mathrm{DA}=5$とする.

(1)$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とするとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]}{[コ]}$である.

(2)台形$\mathrm{ABCD}$の面積は,$\displaystyle \frac{[サシ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$のとき,
\[ xy=\frac{[ア]}{[イ]},\quad x+y=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(2)$a,\ b$を定数とする.不等式$x-2a \leqq 3x+b \leqq x+2$の解が$4 \leqq x \leqq 5$であるとき,$a=[カ]$,$b=[キク]$である.
(3)$2$次方程式$x^2-3x-5=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,

$m \leqq \alpha<m+1$を満たす整数$m$の値は$m=[ケコ]$,
$n \leqq \beta<n+1$を満たす整数$n$の値は$n=[サ]$

である.
(4)$6$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使ってできる$4$桁の整数のうち,$2$の倍数は$[シスセ]$個ある.ただし,同じ数字をくり返し使わないものとする.
(5)方程式$5x+7y=1 \cdots\cdots①$の整数解$x,\ y$を求める.
$5 \cdot 3+7 \cdot ([ソタ])=1 \cdots\cdots②$が成り立ち,$①,\ ②$から
\[ 5(x-3)+7(y+[チ])=0 \]
が成り立つ.よって,$x-3=[ツ]n$($n$は整数)とおけるから,$①$のすべての整数解は
\[ x=[ツ]n+3,\quad y=[テト]n-[チ] \quad (n \text{は整数}) \]
と表せる.
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{AC}=6$,$\displaystyle \cos A=\frac{9}{16}$であるとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[アイ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]}$であり,その内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である.
(7)$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{2}{3} (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$のとき,$\displaystyle \sin^2 \theta-\cos^2 \theta=\frac{[キ] \sqrt{[クケ]}}{[コ]}$である.
(8)箱の中に赤玉$1$個,黄玉$2$個,白玉$2$個の計$5$個の玉がある.この$5$個の玉から$1$個の玉を取り出し,その色を確認して元に戻す.この試行をくり返して,赤玉を取り出すか,または,黄玉を$2$回取り出したときに試行を終了するものとする.このとき,$3$回目の試行で終了する確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセソ]}$である.
九州産業大学 私立 九州産業大学 2015年 第3問
$3$次関数$f(x)$は$x=-1$と$x=-5$で極値をとり,$f(0)=14$,$f(1)=64$とする.

(1)$f(x)=[ア]x^3+[イウ]x^2+[エオ]x+[カキ]$であり,
$f^\prime(x)=[ク]x^2+[ケコ]x+[サシ]$である.
(2)$f(x)$の極大値は$[スセ]$であり,極小値は$[ソ]$である.
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数は$[タ]$個である.
(4)$f^\prime(x)=g(x)$とおく.曲線$y=g(x)$と$x$軸とで囲まれる図形$A$の面積は$[チツ]$である.図形$A$が直線$x=a$によって$2$つに分割され,左側と右側の部分の面積の比が$5:27$であるならば,$a$の値は$[テト]$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2014年 第3問
円$(x-2)^2+(y-3)^2=9$と放物線$y=x^2-4x+a+4$($a$は定数)は,$2$つの点で接している.

(1)$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイウ]}{[エ]}$である.
(2)接点の座標は$\displaystyle \left( [オ] \pm \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]},\ \frac{[ケ]}{[コ]} \right)$であり,$2$つの接線の方程式は$y=\pm \sqrt{[サシ]}(x-[ス])+[セソタ]$である(複号同順).
(3)$(2)$で得られた$2$つの接線の交点の座標は$([チ],\ [ツテト])$である.
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