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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第2問
条件$a_1=5$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+9n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{a_n\}$を考え,$b_n=na_n$とおく.

(1)$b_1=[ア]$,$b_2=[イウ]$である.
(2)$b_{n+1}-b_n=[エ]n(n+1)$である.
(3)$b_{n+1}=[オ]n(n+1)(n+2)+[カ]$である.

(4)$\displaystyle a_n=[キ]n^2-[ク]+\frac{[ケ]}{n}$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第2問
次の各設問に答えよ.

(1)$3n+9$と$8n+9$の最大公約数が$5$となるような$20$以下の自然数$n$は$[ア]$個ある.そのうち最も大きな$n$の値は$[イウ]$である.
(2)曲線$C:y=x^2-2ax+2a^2-5a$($a$は定数)は$x$軸と異なる$2$点で交わるものとする.$a$の値の取り得る範囲は$[エ]<a<[オ]$である.
そして,$C$と$x$軸とで囲まれた領域の面積が$8 \sqrt{6}$のとき,$a$の値は小さい順に$[カ]$,$[キ]$である.
東邦大学 私立 東邦大学 2016年 第6問
さいころを$3$回投げて出た目を順に$a,\ b,\ c$とする.$2$次関数$y=ax^2+bx+c$の最小値を$m$とするとき,$\displaystyle m>\frac{11}{2}$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
東北医科薬科大学 私立 東北医科薬科大学 2016年 第1問
白玉$4$個と赤玉$2$個がはいっている袋から玉を$1$個取り出す試行を行う.このとき,次の問に答えなさい.

(1)取りだした球は袋に戻さないとして,この試行を$4$回繰り返す.$4$回目にはじめて赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)取りだした球は袋に戻さないとして,この試行を$4$回繰り返す.このとき,赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である.
(3)取りだした球は袋に戻さないとして,この試行を$4$回繰り返す.$4$回目に$2$個目の赤玉が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である.
(4)取りだした球を袋に戻すとして,この試行を$4$回繰り返す.このとき,赤玉がちょうど$2$個取り出される確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である.
(5)取りだした球を袋に戻すとして,この試行を繰り返す.赤玉が取り出されたら試行は止める.$k$回目に赤玉が出て止める確率は$\displaystyle P_k=\frac{[サ]}{[シ]} \left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\mkakko{ソ}}$である.
また$\displaystyle S_k=(P_1)^2+(P_2)^2+\cdots +(P_k)^2=\frac{[タ]}{[チ]}-\frac{[ツ]}{[テ]} \left( \frac{[ト]}{[ナ]} \right)^{\mkakko{ニ}}$なので$S_k \geqq 0.19998$をみたす最小の$k$は$[ヌネ]$である.
ただし$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第2問
袋の中に,$1,\ 2,\ \cdots,\ m$($m$は$2$以上の整数)の数字が書かれた球がそれぞれ$n$個ずつ($n$は正の整数),合計$mn$個入っている.この袋の中から同時に$2$個の球を取り出す.取り出した球に書かれている数字が$k,\ l (k \geqq l)$のとき,$x=k$,$y=l$とする.

(1)$m=6,\ n=3$のとき,$x-y=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)$2(x-y) \geqq m$となる確率を$p$とする.


$m=18$,$n=3$のとき,$\displaystyle p=\frac{[エオ]}{[カキ]}$である.

$m$が偶数,$n=3$のとき,$\displaystyle p=\frac{[ク]m+[ケ]}{[コサ]m-[シ]}$である.


(3)$2(x-y)<m$となる確率は,$m$が偶数のとき
\[ \frac{[ス]mn-[セ]n-[ソ]}{[タ](mn-[チ])} \]
である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第1問
次の各設問に答えよ.

(1)正の実数$a,\ b$が$\sqrt{a^3}-2 \sqrt{b^3}=(ab)^{\frac{3}{4}}$を満たすとき,$a=\sqrt[\mkakko{ア}]{[イウ]}b$である.
(2)方程式$x^2-\sqrt{6}x+1=\sqrt{2}$の解が$\tan \alpha$,$\displaystyle \tan (-\beta) \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$のとき$\displaystyle \alpha-\beta=\frac{[エ]}{[オ]} \pi$である.
(3)$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^x-\left( \frac{1}{4} \right)^{x-1}-\left( \frac{1}{2} \right)^{x-2}+16<0$の解は$[カキ]<x<[クケ]$である.
(4)箱の中に赤玉$5$個,白玉$4$個,黒玉$3$個が入っている.この箱の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき,少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である.
玉川大学 私立 玉川大学 2016年 第1問
次の$[ ]$を埋めよ.

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$.

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で,$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である.

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である.このとき,$A$,$B$,$C$は,
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である.
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は,$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である.
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき,
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である.
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は,$x=[ハ]$のとき,最大値$[ヒフ]$をとり,$x=[ヘ]$のとき,最小値$[ホ]$をとる.
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき,


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ.
東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.

(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
中京大学 私立 中京大学 2015年 第1問
等差数列$\{a_n\}$の初項から第$6$項までの和が$42$,$a_{30}=3a_{10}$であるとき,$a_1=[ア]$であり,$a_{13}=[イウ]$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2015年 第1問
次の各設問に答えよ.

(1)循環小数の差$3. \dot{7} 4 \dot{5}-3. \dot{4}4 \dot{9}$を分数で表すと$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である.
(2)$\displaystyle \left( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \right)^2$の小数部分は$x^2+[エオ]x+[カキク]=0$の解である.
(3)$\displaystyle \log_9 \frac{45}{7}+\log_3 \sqrt{10.5}+\log_9 3.6$を簡単にすると$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる.
(4)${16}^x-3 \cdot 2^{2x+1}-16=0$を満たす$x$の値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である.
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「イウ」とは・・・

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