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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第4問
$2$つの関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$,$g(x)=-x^2+cx+3$について,曲線$y=f(x)$,$y=g(x)$は点$(1,\ 0)$で同じ接線をもつとする.ただし,$a,\ b,\ c$は定数とする.

(1)$a=[アイ]$,$b=[ウ]$,$c=[エオ]$である.
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$,$y=g(x)$の点$(1,\ 0)$以外の共有点の座標は$([カ],\ [キクケ])$である.
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$,$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.
東京医科大学 私立 東京医科大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が条件
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1 \quad \text{かつ} \quad |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=\frac{25}{44} \]
をみたすとする.ベクトル$\overrightarrow{c}$が正の数$t$を用いて
\[ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
と表され,かつ$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5}$であるならば
\[ t=\frac{[アイ]}{[ウ]} \]
である.
(2)座標平面上の放物線$\displaystyle C_1:y=\frac{4}{5}x^2$と円$C_2:x^2+(y-a)^2=a^2$($a$は正の定数)が$3$つの共有点をもつような$a$の値の範囲は
\[ a>\frac{[エ]}{[オ]} \]
である.
東京医科大学 私立 東京医科大学 2016年 第3問
$a$を実数の定数とし,関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える.関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で,かつ$f(p)=0$であるとする.このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり,かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第2問
関数$y=7 \sin^2 \theta+3 \cos 2 \theta+6 \cos \theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を考える.

(1)$\cos \theta=t$とおくと,$t$の値の範囲は$[アイ] \leqq t \leqq [ウ]$である.
(2)$y$は$t$の$2$次関数として,
\[ y=-t^2+[エ]t+[オ] \quad ([アイ] \leqq t \leqq [ウ]) \]
と表される.
(3)$y$は$\theta=[カ]$で最大値$[キ]$をとり,$\theta=[ク]$で最小値$[ケコ]$をとる.
東北医科薬科大学 私立 東北医科薬科大学 2016年 第3問
放物線$y=1-4x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$と,この放物線の点$\mathrm{P}$を通る接線を$\ell$とおく.また,直線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおく.このとき,次の問に答えなさい.

(1)$a=0$のとき,接線$\ell$と放物線$y=-x^2+2x+4$の交点の$x$座標は$x=[アイ]$,$[ウ]$である.また,$\displaystyle S(0)=\frac{[エオ]}{[カ]}$である.

(2)$0 \leqq b$となるような$a$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \leqq a \leqq \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(3)接線$\ell$の方程式は$y=-[シ]ax+[ス]a^2+[セ]$であり,
$\displaystyle S(a)=\frac{[ソタ]}{[チ]} \left( [ツ]a^2+[テ]a+[ト] \right)^{\frac{\mkakko{ナ}}{\mkakko{ニ}}}$となる.
また$S(a)$が最小となるのは$\displaystyle a=\frac{[ヌネ]}{[ノ]}$のときである.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第3問
三角形$\mathrm{ABC}$について,$\mathrm{AB}=5$,$\mathrm{BC}=7$,$\mathrm{CA}=8$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である.$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする.このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である.

また,三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$,外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$


である.
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である.
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について,
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である.
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である.
(3)$a,\ b$を整数とする.$a$を$13$で割ると$10$余り,$b$を$13$で割ると$7$余るとき,$a+b$,$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$,$[ケ]$である.また,$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である.
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり,そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある.
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき,
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ,$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは,関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である.このとき,もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である.
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$,$y \geqq 0$を満たすとき,$6x+3y$は$x=[ケ]$,$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり,$x=[スセ]$,$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる.
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき,$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である.
北海道薬科大学 私立 北海道薬科大学 2016年 第3問
食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある.これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える.食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として,この操作を$n$回($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$)繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.

(1)$x_1$は$[アイ]$である.

(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ.この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと,定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる.これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる.
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには,この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある.
千葉工業大学 私立 千葉工業大学 2016年 第2問
次の各問に答えよ.

(1)実数$x,\ y$は$x \geqq \sqrt[3]{2}$,$y \geqq 32$,$x^6y=256$をみたしている.$F=(\log_{16}x)(\log_2 y)$は,$t=\log_2 x$とおくと
\[ F=\frac{[アイ]}{[ウ]}t^2+[エ]t \]
と表される.$t$の取り得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]} \leqq t \leqq \frac{[キ]}{[ク]}$であり,$F$の最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$,最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である.
(2)$x$の関数$f(x)=x(x^2+ax+b)$($a,\ b$は定数)がある.$xy$平面において,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(5,\ f(5))$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{B}$とする.$\mathrm{B}$の$x$座標は$[ス]$であり,$\mathrm{B}$が曲線$y=f(x)$上にあるとき,$a=[セソ]$である.さらに,$f(x)$が$x=[ス]$で極値をとるとき,$b=[タチ]$であり,$f(x)$の極大値は$[ツテ]$である.
埼玉工業大学 私立 埼玉工業大学 2016年 第1問
次の$[ ]$にあてはまるものを記入せよ.

(1)整式$P(x)$を$(x+1)^3$で割ったときの余りが$x^2-x+1$のとき,$P(x)$を$(x+1)^2$で割った余りは,$[アイ]x$である.

(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \left( \frac{1}{2} \right)^n+\left( \frac{1}{3} \right)^n \right\}$の和は,$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である.

(3)正の整数$a,\ b$について,$a$を$5$で割ると余りが$2$,$b$を$5$で割ると余りが$3$である.積$ab$を$5$で割ったとき,余りは$[オ]$となる.
(4)$3$つの数$4,\ a,\ b$は,この順に等差数列をなし,$a,\ b,\ 4$は,この順に等比数列をなす.このとき$a=[カ]$,$b=[キク]$である.ただし,$a$と$b$は等しくないとする.
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