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私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．
(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．
(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．
私立 京都薬科大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ア]$～$[エ]$に数を入れよ．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
私立 自治医科大学 2016年 第19問$1$個のサイコロを$28$回続けて投げる反復試行において，$5$の目が$r$回（$0 \leqq r \leqq 28$）出る確率を$P(r)$とする．$P(r)$を最大にする$r$の値を求めよ．
私立 学習院大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$つのさいころを同時に投げて，出た目の和を$S$とする．$S \geqq 13$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{3}$であるとき，$\displaystyle \tan x+\frac{1}{\tan x}$の値を求めよ．
(1)$3$つのさいころを同時に投げて，出た目の和を$S$とする．$S \geqq 13$となる確率を求めよ．
(2)$\displaystyle \cos x+\sin x=\frac{\sqrt{2}}{3}$であるとき，$\displaystyle \tan x+\frac{1}{\tan x}$の値を求めよ．
私立 大阪薬科大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出る目の最大値が$5$以上である確率を$p$，出る目の最大値が$4$以下である確率を$q$とする．このとき，$p$と$q$の間で成り立つ大小関係を次のア～ウのうちからひとつ選べ．ただし，どのさいころも$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする．
ア：「$p<q$」 \qquad イ：「$p=q$」 \qquad ウ：「$p>q$」
(2)第$2$項が$3$，第$22$項が$33$である等差数列の第$28$項の値を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$(5x+1)^n$の展開式における$x^2$の項の係数が$700$である$n$の値を求めよ．
(4)$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$を満たす実数とする．$x$の関数
\[ f(x)=2x^3-3(2+\sin \theta)x^2+(1+\sin \theta)(2+\sin \theta)^2 \]
の極小値を$m(\theta)$とし，$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの$m(\theta)$のとり得る最大の値を$M$とする．このとき，$M$の値，および$m(\theta)=M$を満たす$\theta$の値を求めよ．
私立 金沢工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
私立 龍谷大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)実数$\alpha,\ \beta$は，$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている．$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい．
(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる．出る目の数の積を$n$とし，直線$3x+5y=n$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$，$(0,\ b)$とする．$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい．
(1)実数$\alpha,\ \beta$は，$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha+\sin \beta=0 \\
\cos \alpha+\cos \beta=1
\end{array} \right.$を満たしている．$\cos (\alpha-\beta)$を求めなさい．
(2)次の不等式が表す領域を座標平面上に図示しなさい．
\[ (4x^2+9y^2-36)(4x^2-27y)>0 \]
(3)$2$つのさいころを同時に投げる．出る目の数の積を$n$とし，直線$3x+5y=n$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$(a,\ 0)$，$(0,\ b)$とする．$a$と$b$がどちらも自然数となる確率を求めなさい．
私立 東邦大学 2016年 第6問さいころを$3$回投げて出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$の最小値を$m$とするとき，$\displaystyle m>\frac{11}{2}$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．
私立 中京大学 2016年 第4問大小$2$個のさいころを投げる試行において，大のさいころの出た目を$x$，小のさいころの出た目を$y$とする．$y \geqq x+3$のとき$1$点，$(x-2)^2+(y-2)^2 \leqq 2$のとき$2$点の得点が入り，それ以外のとき得点が入らないものとする．
$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．
$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．