筑波大学
2015年 理系 第6問
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$\alpha$を実数でない複素数とし,$\beta$を正の実数とする.以下の問いに答えよ.ただし,複素数$w$に対してその共役複素数を$\overline{w}$で表す.
(1) 複素数平面上で,関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする.このとき,$C$は原点を通る円であることを示せ.
(2) 複素数平面上で,$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする.$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ.また,その$2$点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とするとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ.
(3) $\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする.$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき,$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ.
(1) 複素数平面上で,関係式$\alpha \overline{z}+\overline{\alpha}z=|z|^2$を満たす複素数$z$の描く図形を$C$とする.このとき,$C$は原点を通る円であることを示せ.
(2) 複素数平面上で,$(z-\alpha)(\beta-\overline{\alpha})$が純虚数となる複素数$z$の描く図形を$L$とする.$L$は$(1)$で定めた$C$と$2$つの共有点をもつことを示せ.また,その$2$点を$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とするとき,線分$\mathrm{PQ}$の長さを$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ.
(3) $\beta$の表す複素数平面上の点を$\mathrm{R}$とする.$(2)$で定めた点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき,$\beta$を$\alpha$と$\overline{\alpha}$を用いて表せ.
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