筑波大学
2015年 理系 第4問
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$f(x)=\log (e^x+e^{-x})$とおく．曲線$y=f(x)$の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と$y$軸の交点の$y$座標を$b(t)$とおく．
(1) 次の等式を示せ． \[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2) $x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3) $t \geqq 0$のとき， \[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \] であることを示せ．
(4) $\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
(1) 次の等式を示せ． \[ b(t)=\frac{2te^{-t}}{e^t+e^{-t}}+\log (1+e^{-2t}) \]
(2) $x \geqq 0$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(3) $t \geqq 0$のとき， \[ b(t) \leqq \frac{2}{e^t+e^{-t}}+e^{-2t} \] であることを示せ．
(4) $\displaystyle b(0)=\lim_{x \to \infty} \int_0^x \frac{4t}{(e^t+e^{-t})^2} \, dt$であることを示せ．
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